下册 7.5 多元函数微分的应用 第2题
📝 题目
2．证明函数 $f(x, y)=\left(1+\mathrm{e}^{y}\right) \cos x-y \mathrm{e}^{y}$ 有无穷多个极大值，但无极小值．
💡 答案解析
解题过程：
由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}=-\left(1+\mathrm{e}^{y}\right) \sin x=0 \\ f_{y}=(\cos x-1-y) \mathrm{e}^{y}=0\end{array}\right.$ 得函数的稳定点 $\left(x_{n}, y_{n}\right)=(n \pi, \cos n \pi-1), n \in \mathbf{Z}$ ．
又
$$
f_{x x}=-\left(1+\mathrm{e}^{y}\right) \cos x, f_{y y}=(\cos x-2-y) \mathrm{e}^{y}, f_{x y}=-\mathrm{e}^{y} \sin x .
$$
所以当 $n$ 为偶数时，$\Delta=f_{x x} f_{y y}-f_{x y}^{2}=2>0, f_{x x}=-2<0$ 。故 $f(x, y)$ 在点 $(2 k \pi, 0)$ 取极大值；
当 $n$ 为奇数时，$\Delta=f_{x x} f_{y y}-f_{x y}^{2}=-\left(1+\mathrm{e}^{-2}\right) \mathrm{e}^{-2}<0$ ，点 $\left(x_{n}, y_{n}\right)=(n \pi, \cos n \pi-1)$ 不是函数的极值点，
因此 $f(x, y)$ 有无穷多个极大值，但无极小值．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求偏导数并令其为零
计算函数 $f(x, y) = (1+e^y)\cos x - y e^y$ 的一阶偏导数：
$$f_x = -(1+e^y)\sin x, \quad f_y = (\cos x - 1 - y)e^y.$$
令 $f_x=0$ 和 $f_y=0$，得到方程组：
$$\begin{cases} -(1+e^y)\sin x = 0 \\ (\cos x - 1 - y)e^y = 0 \end{cases}.$$
公式：$f_x = -(1+e^y)\sin x$, $f_y = (\cos x - 1 - y)e^y$
提示：注意 $e^y>0$ 恒成立，因此 $f_y=0$ 等价于 $\cos x - 1 - y = 0$。
步骤 2/6
目标：求解稳定点
由 $f_x=0$ 得 $\sin x = 0$，故 $x = n\pi$，$n \in \mathbb{Z}$。代入 $f_y=0$ 得 $\cos(n\pi) - 1 - y = 0$，即 $y = \cos(n\pi) - 1$。因此稳定点为 $(x_n, y_n) = (n\pi, \cos(n\pi)-1)$，$n \in \mathbb{Z}$。
公式：$x = n\pi$, $y = \cos(n\pi)-1$
提示：注意 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，因此 $y_n = (-1)^n - 1$。
步骤 3/6
目标：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数：
$$f_{xx} = -(1+e^y)\cos x, \quad f_{yy} = (\cos x - 2 - y)e^y, \quad f_{xy} = -e^y \sin x.$$
公式：$f_{xx}=-(1+e^y)\cos x$, $f_{yy}=(\cos x-2-y)e^y$, $f_{xy}=-e^y\sin x$
提示：注意求导顺序，$f_{xy}$ 是对 $x$ 求偏导后再对 $y$ 求偏导。
步骤 4/6
目标：判断稳定点的类型（n为偶数）
当 $n$ 为偶数时，设 $n=2k$，则 $x=2k\pi$，$y=\cos(2k\pi)-1=0$。代入二阶偏导数：
$$f_{xx}=-(1+e^0)\cos(2k\pi)=-(1+1)\cdot1=-2,$$
$$f_{yy}=(\cos(2k\pi)-2-0)e^0=(1-2)\cdot1=-1,$$
$$f_{xy}=-e^0\sin(2k\pi)=0.$$
计算判别式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (-2)(-1) - 0 = 2 > 0$，且 $f_{xx} = -2 < 0$，故该点为极大值点。
公式：$\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$
提示：注意 $\cos(2k\pi)=1$，$\sin(2k\pi)=0$。
步骤 5/6
目标：判断稳定点的类型（n为奇数）
当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k+1$，则 $x=(2k+1)\pi$，$y=\cos((2k+1)\pi)-1=-1-1=-2$。代入二阶偏导数：
$$f_{xx}=-(1+e^{-2})\cos((2k+1)\pi)=-(1+e^{-2})(-1)=1+e^{-2},$$
$$f_{yy}=(\cos((2k+1)\pi)-2-(-2))e^{-2}=(-1-2+2)e^{-2}=(-1)e^{-2}=-e^{-2},$$
$$f_{xy}=-e^{-2}\sin((2k+1)\pi)=0.$$
计算判别式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (1+e^{-2})(-e^{-2}) - 0 = -(1+e^{-2})e^{-2} < 0$，故该点为鞍点，不是极值点。
公式：$\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$
提示：注意 $\cos((2k+1)\pi)=-1$，$\sin((2k+1)\pi)=0$。
步骤 6/6
目标：总结极值情况
由以上分析可知，当 $n$ 为偶数时，稳定点 $(2k\pi, 0)$ 是极大值点，且有无穷多个（$k \in \mathbb{Z}$）；当 $n$ 为奇数时，稳定点不是极值点。因此函数有无穷多个极大值，但无极小值。
提示：注意极值点必须满足 $\Delta>0$ 且 $f_{xx}$ 的符号决定极大或极小。
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