下册 7.5 多元函数微分的应用 第3题
📝 题目
3．设 $f(x, y)=x^{3}+3 x y-y^{2}-6 x+2 y+1$ ，求 $f(x, y)$ 在 $(-2,2)$ 处的二阶带佩亚型诺余项的泰勒公式．问 $f(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上有哪些关于极值的判别点，这些点是否为极值点，说明理由．
💡 答案解析
解题过程：
$$
f_{x}=3 x^{2}+3 y-6, f_{y}=3 x-2 y+2, f_{x x}=6 x, f_{y y}=-2, f_{x y}=3 .
$$
则 $f(-2,2)=-7, f_{x}(-2,2)=12, f_{y}(-2,2)=-8, f_{x x}(-2,2)=-12, f_{x y}(-2,2)=3, f_{y y}(-2,2)=-2$ 。于是 $f(x, y)$ 在点 $(-2,2)$ 处的二阶带佩亚型诺余项的泰勒公式为
$$
f(x, y)=-7+12(x+2)-8(y-2)+\frac{1}{2}\left[-12(x+2)^{2}+6(x+2)(y-2)-2(y-2)^{2}\right]+o\left((x+2)^{2}+(y-2)^{2}\right) .
$$
由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}=3 x^{2}+3 y-6=0 \\ f_{y}=3 x-2 y+2=0\end{array}\right.$ 得稳定点 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right),(-2,-2)$ ．
在点 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)$ ，
$$
A=f_{x x}\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)=3>0, B=f_{x y}\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)=3, C=f_{y y}\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)=-2<0
$$
故 $A C-B^{2}=-15<0$ ．所以点 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)$ 不是函数的极值点．
在点 $(-2,-2)$ ，
$$
A=f_{x x}(-2,-2)=-12, B=f_{x y}(-2,-2)=3, C=f_{y y}(-2,-2)=-2,
$$
故 $A C-B^{2}=15>0$ ．所以 $f(x, y)$ 在点 $(-2,-2)$ 处取得极大值．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算一阶和二阶偏导数
对 $f(x,y)=x^3+3xy-y^2-6x+2y+1$ 求偏导：
$f_x = 3x^2 + 3y - 6$，
$f_y = 3x - 2y + 2$，
$f_{xx} = 6x$，
$f_{yy} = -2$，
$f_{xy} = 3$。
提示：注意求导时对变量求导，其他变量视为常数。
步骤 2/5
目标：计算点(-2,2)处的函数值和各阶偏导数值
代入 $(-2,2)$：
$f(-2,2) = (-2)^3 + 3(-2)(2) - 2^2 - 6(-2) + 2(2) + 1 = -8 -12 -4 +12 +4 +1 = -7$，
$f_x(-2,2) = 3(4) + 3(2) - 6 = 12 + 6 - 6 = 12$，
$f_y(-2,2) = 3(-2) - 2(2) + 2 = -6 -4 +2 = -8$，
$f_{xx}(-2,2) = 6(-2) = -12$，
$f_{xy}(-2,2) = 3$，
$f_{yy}(-2,2) = -2$。
提示：计算函数值时要仔细，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：写出二阶带佩亚诺余项的泰勒公式
在点 $(-2,2)$ 处的泰勒公式为：
$f(x,y) = f(-2,2) + f_x(-2,2)(x+2) + f_y(-2,2)(y-2) + \frac{1}{2}[f_{xx}(-2,2)(x+2)^2 + 2f_{xy}(-2,2)(x+2)(y-2) + f_{yy}(-2,2)(y-2)^2] + o((x+2)^2+(y-2)^2)$
代入得：
$f(x,y) = -7 + 12(x+2) - 8(y-2) + \frac{1}{2}[-12(x+2)^2 + 6(x+2)(y-2) - 2(y-2)^2] + o((x+2)^2+(y-2)^2)$。
公式：二元函数泰勒公式：$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0)^T(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + \frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T H(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + o(\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\|^2)$
提示：注意二阶项系数为1/2，且交叉项系数为2倍偏导。
步骤 4/5
目标：求稳定点（一阶导数为零的点）
解方程组：
$\begin{cases} f_x = 3x^2 + 3y - 6 = 0 \\ f_y = 3x - 2y + 2 = 0 \end{cases}$
由第二式得 $y = \frac{3x+2}{2}$，代入第一式：
$3x^2 + 3\cdot\frac{3x+2}{2} - 6 = 0$，即 $6x^2 + 9x + 6 - 12 = 0$，$6x^2 + 9x - 6 = 0$，除以3得 $2x^2 + 3x - 2 = 0$，解得 $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = -2$。
对应 $y$：当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$y = \frac{3\cdot\frac{1}{2}+2}{2} = \frac{3.5}{2} = \frac{7}{4}$；当 $x=-2$ 时，$y = \frac{3(-2)+2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$。
故稳定点为 $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$ 和 $(-2,-2)$。
提示：解方程组时注意代入消元，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：判断稳定点是否为极值点（使用二阶充分条件）
计算二阶偏导在稳定点处的值：
$f_{xx}=6x$，$f_{yy}=-2$，$f_{xy}=3$。
对于点 $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$：
$A = f_{xx} = 6\cdot\frac{1}{2}=3$，$B = f_{xy}=3$，$C = f_{yy}=-2$，
判别式 $\Delta = AC - B^2 = 3\cdot(-2) - 3^2 = -6 - 9 = -15 < 0$，故该点不是极值点。
对于点 $(-2,-2)$：
$A = f_{xx} = 6\cdot(-2) = -12$，$B = 3$，$C = -2$，
$\Delta = (-12)\cdot(-2) - 3^2 = 24 - 9 = 15 > 0$，且 $A < 0$，故该点为极大值点。
公式：二元函数极值的二阶充分条件：设 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处有连续二阶偏导，$\nabla f(x_0,y_0)=0$，令 $A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$，$\Delta = AC-B^2$。若 $\Delta>0$ 且 $A>0$，则极小；$\Delta>0$ 且 $A<0$，则极大；$\Delta<0$，则不是极值点。
提示：注意判别式 $\Delta = AC - B^2$，不要忘记减去 $B^2$。
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