下册 7.5 多元函数微分的应用 第4题

\section*{解题过程：} （1）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{2 x+2 y}{2 x+4 y}$ ．由 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$ 得 $x=-y$ ．将 $x=-y$ 代人原方程 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ ，解之得 $x= \pm 1$ ．又 $y(1)=-1, y(-1)=1$ ，于是该隐函数的稳定点为 $(1,-1),(-1,1)$ ． 又 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=-\frac{1}{(2 y+x)^{2}}\left(y+\frac{x^{2}+x y}{2 y+x}\right)$ ，从而 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{(1,-1)}=1>0,\left.\frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{(-1,1)}=-1<0$ ．因 此 $y=y(x)$ 在 $x=-1$ 取极大值 1 ，在 $x=1$ 取极小值 -1 ． （2）由 $\displaystyle z_{x}=\frac{2 x+y-1}{2-z}=0, z_{y}=\frac{y+x-1}{2-z}=0$ 得 $x=0$ 与 $y=1$ ．由此可知隐函数 $z=z(x, y)$ 的稳定点为 $(0,1)$ ． 把 $(0,1)$ 代人 $2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 得到 $z^{2}-4 z+3=0$ ，即 $z=1,3$ ． 又 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{2}{2-z}+\frac{2 x+y-1}{(2-z)^{2}} z_{x}=\frac{2}{2-z}+\frac{(2 x+y-1)^{2}}{(2-z)^{3}} $$ $$ \begin{aligned} & \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\frac{1}{2-z}+\frac{2 x+y-1}{(2-z)^{2}} z_{y}=\frac{1}{2-z}+\frac{(x+y-1)(2 x+y-1)}{(2-z)^{3}} . \\ & \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\frac{1}{2-z}+\frac{x+y-1}{(2-z)^{2}} z_{y}=\frac{1}{2-z}+\frac{(x+y-1)^{2}}{(2-z)^{3}} . \end{aligned} $$ 在点 $(0,1,1), a_{11}=z_{x x}(0,1)=2>0, a_{12}=z_{x y}(0,1)=1, a_{22}=z_{y y}(0,1)=1, \Delta=a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}=1>0$ ．所以隐函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(0,1)$ 取得极小值 $z=z(0,1)=1$ ． 在点 $(0,1,3), a_{11}=-2<0, a_{12}=-1, a_{22}=-1, \Delta=a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}=1>0$ ，所以隐函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(0,1)$ 取得极大值 $z=z(0,1)=3$ ． （3）由 $\displaystyle z_{x}=\frac{x-3 y}{y+z}=0, z_{y}=\frac{-3 x+10 y-z}{y+z}=0$ 得 $x=3 y$ 与 $z=y$ 。将 $x=3 y, z=y$ 代入 方 程 $x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 得到 $y^{2}=9$ ，即 $y=3,-3$ ．由此可知隐函数 $z=z(x, y)$ 的稳定点为 $(9,3),(-9,-3)$ ． $$ \begin{aligned} & z_{x x}=\frac{1}{y+z}-\frac{x-3 y}{(y+z)^{2}} z_{x}=\frac{1}{y+z}-\frac{(x-3 y)^{2}}{(y+z)^{3}} \\ & z_{x y}=\frac{-3}{y+z}-\frac{x-3 y}{(y+z)^{2}}\left(1+z_{y}\right)=\frac{-3}{y+z}+\frac{(x-3 y)(3 x-11 y)}{(y+z)^{3}} \\ & z_{y y}=\frac{10-z_{y}}{y+z}+\frac{3 x-10 y+z}{(y+z)^{2}}\left(1+z_{y}\right)=\frac{10}{y+z}+\frac{3 x-10 y+z}{(y+z)^{2}}-\frac{(3 x-10 y+z)(3 x-11 y)}{(y+z)^{3}} . \end{aligned} $$ 在点 $\displaystyle (9,3), a_{11}=z_{x x}(9,3)=\frac{1}{6}>0, a_{12}=z_{x y}(9,3)=-\frac{1}{2}, a_{22}=z_{y y}(9,3)=\frac{5}{3}, \Delta=a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}=\frac{1}{36}>0$ ．所以点 $(9,3)$ 是隐函数 $z=z(x, y)$ 的极小值点，极小值 $z=z(9,3)=3$ ． 在点 $(-9,-3)$ ， $$ a_{11}=z_{x x}(-9,-3)=-\frac{1}{6}<0, a_{12}=z_{x y}(-9,-3)=\frac{1}{2}, a_{22}=z_{y y}(-9,-3)=-\frac{5}{3}, $$ 故 $\displaystyle \Delta=a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}=\frac{1}{36}>0$ ．所以点 $(-9,-3)$ 是隐函数 $z=z(x, y)$ 的极大值点，极大值 $z=z(-9,-3)=-3$ ．