下册 7.5 多元函数微分的应用 第5题
📝 题目
5．证明下列结论．
（1）函数 $F(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内有连续的二阶偏导数， $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ 。证明由方程 $F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 点取得极小值．
（2）设 $f(x, y)$ 在 $x, y \geqslant 0$ 上连续，在 $x, y>0$ 内可微，且存在唯一点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，使得 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。设 $f\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, f(x, 0)=f(0, y)=0(x, y \geqslant 0), ~ \lim _{x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty} f(x, y)=0$ 。证明 $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $f(x, y)$ 在 $x, y \geqslant 0$ 上的最大值．
（3）设 $f(x, y) \in C^{2}\left(\mathbf{R}^{2}\right)$ ，对 $\forall(x, y) \in \mathbf{R}^{2}, f_{x x}(x, y)+f_{y y}(x, y)>0$ ，求证：$f(x, y)$ 没有极大值点．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由所给条件可知方程 $F(x, y)=0$ 能确定隐函数 $y=f(x)$ ．再由方程 $F(x, y)=0$ 可得
$F_{x}(x, y)+F_{y}(x, y) y_{x}=0$ ．于是 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=-\frac{F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=0$ ，这说明点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $y=f(x)$ 的稳定点．
在 $F_{x}(x, y)+F_{y}(x, y) y_{x}=0$ 中对 $x$ 求导得
$$
\left(F_{x x}(x, y)+F_{x y}(x, y) y_{x}\right)+\left(F_{y x}(x, y)+F_{y y}(x, y) y_{x}\right) y_{x}+F_{y}(x, y) y_{x x}=0
$$
于是
$$
F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) y_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \text {, 即 } y_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=-\frac{F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}>0 \text {. }
$$
所以由方程 $F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 点取得极小值．
（2）（反证法）假设 $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不是 $f(x, y)$ 在 $x, y \geqslant 0$ 上的最大值．由于 $\lim _{x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty} f(x, y)=0$ ，所以存在 $r>0$ ，当 $x^{2}+y^{2} \geqslant r, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 时，$f(x, y)
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：隐函数存在性与一阶导数计算
由条件 $F(x_0,y_0)=0$ 且 $F_y(x_0,y_0)>0$，根据隐函数定理，方程 $F(x,y)=0$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近确定唯一的隐函数 $y=f(x)$。对 $F(x,f(x))=0$ 两边求导得 $F_x+F_y y'=0$，代入 $(x_0,y_0)$ 得 $y'(x_0)=-\frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}=0$，故 $x_0$ 是 $f$ 的驻点。
公式：$F_x+F_y y'=0$
提示：注意隐函数定理的条件：$F_y\neq0$。
步骤 2/7
目标：二阶导数计算与极值判定
对 $F_x+F_y y'=0$ 再次求导：$F_{xx}+F_{xy}y'+(F_{yx}+F_{yy}y')y'+F_y y''=0$。代入 $(x_0,y_0)$，利用 $y'(x_0)=0$ 得 $F_{xx}(x_0,y_0)+F_y(x_0,y_0)y''(x_0)=0$，所以 $y''(x_0)=-\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$。由 $F_{xx}<0$ 和 $F_y>0$ 得 $y''(x_0)>0$，故 $f$ 在 $x_0$ 处取得极小值。
公式：$y''(x_0)=-\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$
提示：二阶导数的符号决定极值类型，注意 $F_y>0$ 的条件。
步骤 3/7
目标：反证法假设与有界区域构造
假设 $f(x_0,y_0)$ 不是最大值。由 $\lim_{x^2+y^2\to\infty}f(x,y)=0$ 且 $f(x_0,y_0)>0$，存在 $r>0$ 使得当 $x^2+y^2\ge r$ 且 $x,y\ge0$ 时 $f(x,y)
提示：注意 $f(x,0)=f(0,y)=0$ 保证边界值小于 $f(x_0,y_0)$。
步骤 4/7
目标：最大值存在性与唯一性矛盾
$f$ 在 $D$ 上连续，故存在最大值点 $(x_1,y_1)\in D$。在边界 $\partial D$ 上 $f
提示：内部极值点处偏导数为零，利用唯一性推出矛盾。
步骤 5/7
目标：反证法假设极大值点存在
假设 $f$ 有极大值点 $(a,b)$，则 $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$。考虑沿 $y=b$ 的截面，$f(x,b)$ 在 $x=a$ 处取得极大值，故存在邻域使 $f(x,b)-f(a,b)\le0$。
提示：极大值点处一阶偏导为零。
步骤 6/7
目标：利用泰勒公式推导二阶偏导非正
由泰勒公式，存在 $c_x$ 介于 $a$ 与 $x$ 之间，使得 $f(x,b)-f(a,b)=\frac12 f_{xx}(c_x,b)(x-a)^2\le0$，故 $f_{xx}(c_x,b)\le0$。令 $x\to a$，由连续性得 $f_{xx}(a,b)\le0$。同理可得 $f_{yy}(a,b)\le0$。
公式：$f(x,b)-f(a,b)=\frac12 f_{xx}(c_x,b)(x-a)^2$
提示：注意泰勒公式的余项形式，取极限时需利用二阶偏导连续。
步骤 7/7
目标：导出矛盾得出结论
于是 $f_{xx}(a,b)+f_{yy}(a,b)\le0$，与已知条件 $f_{xx}+f_{yy}>0$ 矛盾。故 $f$ 没有极大值点。
提示：条件 $f_{xx}+f_{yy}>0$ 是全局的，与局部结论矛盾。
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