下册 7.5 多元函数微分的应用 第7题
📝 题目
7．求下列函数的最大值与最小值．
（1）$f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+x-2 y$.
（2）$f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+x-2 y$ 的偏导数为
$$
f_{x}(x, y)=2 x-y+1, f_{y}(x, y)=-x+2 y-2, f_{x x}(x, y)=2, f_{x y}(x, y)=-1, f_{y y}(x, y)=2
$$
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=2 x-y+1=0, \\ f_{y}(x, y)=-x+2 y-2=0,\end{array}\right.$ 得函数 $f(x, y)$ 的唯一稳定点 $(0,1)$ ．
在稳定点 $(0,1)$ 处，$\Delta=f_{x x}(0,1) f_{y y}(0,1)-f_{x y}^{2}(0,1)=3>0, f_{x x}(0,1)=2>0$ 。所以函数 $f(x, y)$ 在稳定点 $(0,1)$ 处取得极小值 $f(0,1)=-1$ ，它也是函数 $f(x, y)$ 的最小值．函数 $f(x, y)$ 无最大值．
（2）$f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ 的偏导数为
$$
\begin{aligned}
& f_{x}(x, y)=[1-2 x(x+y)] \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}=\left(1-2 x^{2}-2 x y\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \\
& f_{y}(x, y)=[1-2 y(x+y)] \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}=\left(1-2 y^{2}-2 x y\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \\
& f_{x x}(x, y)=-2(2 x+y) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}-2 x\left(1-2 x^{2}-2 x y\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \\
& f_{x y}(x, y)=-2 x \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}-2 y\left(1-2 x^{2}-2 x y\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \\
& f_{y y}(x, y)=-2(x+2 y) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}-2 y\left(1-2 y^{2}-2 x y\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}
\end{aligned}
$$
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=\left(1-2 x^{2}-2 x y\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}=0, \\ f_{y}(x, y)=\left(1-2 y^{2}-2 x y\right) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}=0,\end{array}\right.$ 得函数 $f(x, y)$ 的稳定点 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 与 $\displaystyle \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ．
在稳定点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 处，
$$
f_{x x}(P)=-3 \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}<0, f_{x y}(P)=-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, f_{y y}(P)=-3 \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, \Delta=\left.\left(f_{x x} f_{y y}-f_{x y}^{2}\right)\right|_{P}=8 \mathrm{e}^{-1}>0
$$
所以函数 $f(x, y)$ 在稳定点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 处取得极大值 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ，它也是函数 $f(x, y)$ 的最大值．
在稳定点 $\displaystyle Q\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 处，
$$
f_{x x}(Q)=3 \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}>0, f_{x y}(Q)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, f_{y y}(Q)=3 \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, \Delta=\left.\left(f_{x x} f_{y y}-f_{x y}^{2}\right)\right|_{\Omega}=8 \mathrm{e}^{-1}>0
$$
所以函数 $f(x, y)$ 在稳定点 $\displaystyle Q\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 处取得极小值 $\displaystyle f\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)=-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ，它也是函数 $f(x, y)$ 的最小值。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求偏导数
对于函数 $f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+x-2 y$，计算一阶偏导数：
$$f_x(x,y)=2x-y+1, \quad f_y(x,y)=-x+2y-2$$
计算二阶偏导数：
$$f_{xx}=2, \quad f_{xy}=-1, \quad f_{yy}=2$$
公式：偏导数定义
提示：注意求导时对变量求偏导，其他变量视为常数。
步骤 2/6
目标：求稳定点
解方程组 $\begin{cases} f_x=2x-y+1=0 \\ f_y=-x+2y-2=0 \end{cases}$。
由第一式得 $y=2x+1$，代入第二式：$-x+2(2x+1)-2=3x=0$，得 $x=0$，进而 $y=1$。故唯一稳定点为 $(0,1)$。
提示：解方程组时注意代入消元，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：判断极值类型
在稳定点 $(0,1)$ 处，计算判别式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2 \times 2 - (-1)^2 = 4-1=3>0$，且 $f_{xx}=2>0$，故该点为极小值点。极小值为 $f(0,1)=0^2-0\cdot1+1^2+0-2\cdot1=-1$。由于函数无界（例如令 $y=0$，$f(x,0)=x^2+x$ 无最大值），故最小值为 $-1$，无最大值。
公式：二元函数极值判别法：$\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$
提示：注意判别式大于0且$f_{xx}>0$为极小值，$f_{xx}<0$为极大值；判别式小于0为鞍点。
步骤 4/6
目标：求第二问偏导数
对于 $f(x,y)=(x+y)e^{-x^2-y^2}$，计算一阶偏导数：
$$f_x = e^{-x^2-y^2} - 2x(x+y)e^{-x^2-y^2} = (1-2x^2-2xy)e^{-x^2-y^2}$$
$$f_y = e^{-x^2-y^2} - 2y(x+y)e^{-x^2-y^2} = (1-2y^2-2xy)e^{-x^2-y^2}$$
二阶偏导数：
$$f_{xx} = -2(2x+y)e^{-x^2-y^2} - 2x(1-2x^2-2xy)e^{-x^2-y^2}$$
$$f_{xy} = -2xe^{-x^2-y^2} - 2y(1-2x^2-2xy)e^{-x^2-y^2}$$
$$f_{yy} = -2(x+2y)e^{-x^2-y^2} - 2y(1-2y^2-2xy)e^{-x^2-y^2}$$
公式：乘积法则和链式法则
提示：注意指数函数的导数，以及乘积求导时不要遗漏项。
步骤 5/6
目标：求第二问稳定点
解方程组 $\begin{cases} f_x = (1-2x^2-2xy)e^{-x^2-y^2}=0 \\ f_y = (1-2y^2-2xy)e^{-x^2-y^2}=0 \end{cases}$。由于指数因子非零，得 $1-2x^2-2xy=0$ 且 $1-2y^2-2xy=0$。两式相减得 $-2x^2+2y^2=0$，即 $x^2=y^2$，故 $y=x$ 或 $y=-x$。
若 $y=x$，代入第一式：$1-2x^2-2x^2=1-4x^2=0$，得 $x=\pm\frac{1}{2}$，对应点 $(\frac12,\frac12)$ 和 $(-\frac12,-\frac12)$。
若 $y=-x$，代入第一式：$1-2x^2+2x^2=1=0$，矛盾。故稳定点为 $(\frac12,\frac12)$ 和 $(-\frac12,-\frac12)$。
提示：注意指数函数恒正，可约去；解方程组时注意分类讨论。
步骤 6/6
目标：判断第二问极值类型
在点 $P(\frac12,\frac12)$ 处，计算二阶偏导数值：
$$f_{xx}(P) = -3e^{-1/2}, \quad f_{xy}(P) = -e^{-1/2}, \quad f_{yy}(P) = -3e^{-1/2}$$
判别式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 9e^{-1} - e^{-1} = 8e^{-1} > 0$，且 $f_{xx}<0$，故为极大值点。极大值为 $f(P) = (\frac12+\frac12)e^{-1/4-1/4} = e^{-1/2}$。
在点 $Q(-\frac12,-\frac12)$ 处：
$$f_{xx}(Q) = 3e^{-1/2}, \quad f_{xy}(Q) = e^{-1/2}, \quad f_{yy}(Q) = 3e^{-1/2}$$
判别式 $\Delta = 9e^{-1} - e^{-1} = 8e^{-1} > 0$，且 $f_{xx}>0$，故为极小值点。极小值为 $f(Q) = (-\frac12-\frac12)e^{-1/4-1/4} = -e^{-1/2}$。由于当 $|x|,|y|\to\infty$ 时 $f\to0$，且函数连续，故最大值和最小值分别为 $e^{-1/2}$ 和 $-e^{-1/2}$。
公式：二元函数极值判别法
提示：注意二阶偏导数的计算要代入稳定点坐标，并注意指数部分的值。
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