下册 7.5 多元函数微分的应用 第8题

\section*{解题过程：} 记 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ． （1）因为 $f_{x}(x, y)=4+y^{2}>0$ ，所以函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内部 $x^{2}+y^{2}<1$ 没有极值点．因此函数 $f(x, y)$ 的最大值，最小值只能在区域 $D$ 的边界 $x^{2}+y^{2}=1$ 上取得． 下面求函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 边界 $x^{2}+y^{2}=1$ 上的可疑极值点． 作拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=4 x+x y^{2}+y^{2}+\lambda\left(x^{2}+y^{2}-1\right)$ ．对 $L$ 求一阶偏导数，并令它们都为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=4+y^{2}+2 \lambda x=0, \\ L_{y}=2 x y+2 y+2 \lambda y=0, \\ L_{\lambda}=x^{2}+y^{2}-1=0 . \end{array}\right. $$ 解之得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=0 \\ \lambda=-2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-1, \\ y=0, \\ \lambda=2 .\end{array}\right.$ 所以函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 边界 $x^{2}+y^{2}=1$ 上的最大值为 $f(1,0)=4$ ，最小值为 $f(-1,0)=-4$ ．故函数 $f(x, y)=4 x+x y^{2}+y^{2}$ 在圆形区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值为 4 ，最小值为 -4 。 （2）先求函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内部 $x^{2}+y^{2}<1$ 的可疑极值点． 由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}=0, \\ f_{y}=0,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}a x+b y=0, \\ b x+c y=0,\end{array}\right.$ 得稳定点 $(0,0)$ ，且 $f(0,0)=0$ ． 下面求函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 边界 $x^{2}+y^{2}=1$ 上的可疑极值点． 作拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}+\lambda\left(x^{2}+y^{2}-1\right)$ ．对 $L$ 求一阶偏导数，并令它们都为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=2 a x+2 b y+2 \lambda x=0, \\ L_{y}=2 b x+2 c y+2 \lambda y=0, \\ L_{\lambda}=x^{2}+y^{2}-1=0 . \end{array}\right. $$ 欲使方程有零解，必使系数行列式 $\left|\begin{array}{cc}a+\lambda & b \\ b & c+\lambda\end{array}\right|=0$ 。解得 $\displaystyle \lambda=\frac{-(a+c) \pm \sqrt{(a-c)^{2}+4 b^{2}}}{2}$ ． 由 $x^{2}+y^{2}=1$ 可得 $f(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}=-\lambda$ ．因此函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值为 $\displaystyle \frac{a+c+\sqrt{(a-c)^{2}+4 b^{2}}}{2}$ ，最小值为 $\displaystyle \frac{a+c-\sqrt{(a-c)^{2}+4 b^{2}}}{2}$ ． （3）先求函数 $f(x, y)=3 x^{2}-14 x y+y^{2}-2$ 在区域 $D$ 内部 $x^{2}+y^{2}<1$ 的可疑极值点． 由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}=6 x-14 y=0, \\ f_{y}=-14 x+2 y=0,\end{array}\right.$ 得函数 $f(x, y)$ 的稳定点 $(0,0)$ ，且 $f(0,0)=-2$ ． 下面求函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 边界 $x^{2}+y^{2}=1$ 上的可疑极值点． 作拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=3 x^{2}-14 x y+y^{2}-2+\lambda\left(1-x^{2}-y^{2}\right)$ ．对 $L$ 求一阶偏导数，并令它们都为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=6 x-14 y-2 \lambda x=0 \\ L_{y}=-14 x+2 y-2 \lambda y=0 \\ L_{\lambda}=1-x^{2}-y^{2}=0 \end{array}\right. $$ 欲使方程组有非零解，必使系数行列式 $\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & -7 \\ -7 & 1-\lambda\end{array}\right|=0$ 。解得 $\lambda=2 \pm 5 \sqrt{2}$ ． 由 $x^{2}+y^{2}=1$ 得 $f(x, y)=3 x^{2}-14 x y+y^{2}-2=\lambda-2$ ．故函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值为 $5 \sqrt{2}$ ，最小值为 $-5 \sqrt{2}$ ． （4）先求函数 $f(x, y)=x^{2}+y^{2}-a x(a>0)$ 在区域 $D$ 内部 $x^{2}+y^{2}<1$ 的可疑极值点． 由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}=2 x-a=0, \\ f_{y}=2 y=0,\end{array}\right.$ 得函数 $f(x, y)$ 的稳定点 $\displaystyle \left(\frac{a}{2}, 0\right)$ ，且 $\displaystyle f\left(\frac{a}{2}, 0\right)=-\frac{a^{2}}{4}$ ． $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-a x=\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}-\frac{a^{2}}{4} \geqslant-\frac{a^{2}}{4}$ ，所以当稳定点 $\displaystyle \left(\frac{a}{2}, 0\right)$ 在区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$内部，即 $02$ 时函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内部无稳定点，最值在边界取得。因此 $f(x, y)$ 的最小值，最大值分别为 $1-a, 1+a$ ．