下册 7.5 多元函数微分的应用 第10题

\section*{解题过程：} 先考查区域内部情形。 令 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)=3 x^{2}-8 x+2 y=0, \\ f_{y}(x, y)=2 x-2 y=0,\end{array}\right.$ 解得稳定点 $(0,0) \in D$（另一点 $\left.(2,2) \notin D\right)$ ． $$ A=f_{x x}^{\prime \prime}(0,0)=-8, B=f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=2, C=f_{y y}^{\prime \prime}(0,0)=-2, A C-B^{2}=12>0 $$ 所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极大值 0 ． 考察 $f(x, y)$ 在 $\partial D$ 上的取值情形． （1）在 $x=5,-1 \leqslant y \leqslant 1$ 上，$f(5, y)=-y^{2}+10 y+25$ ，而 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y}\left(-y^{2}+10 y+25\right)=10-2 y>0, y \in[-1,1]$ ，故 $f$ 在 $D$ 的这条边上关于 $y$ 是单增的． （2）在 $x=-5,-1 \leqslant y \leqslant 1$ 上，$f(-5, y)=-y^{2}-10 y-225$ 是单减的． （3）在 $y=1,-5 \leqslant x \leqslant 5$ 上，$f(x, 1)=x^{3}-4 x^{2}+2 x-1$ 有稳定点 $\displaystyle x=\frac{4 \pm \sqrt{10}}{3}$ ． （4）在 $y=-1,-5 \leqslant x \leqslant 5$ 上，$f(x,-1)=x^{3}-4 x^{2}-2 x-1$ 有稳定点 $\displaystyle x=\frac{4 \pm \sqrt{22}}{3}$ ． 计算特殊点上的函数值． $$ \begin{gathered} f(0,0)=0, f(5,-1)=14, f(5,1)=34, f(-5,-1)=-216, f(-5,1)=-236, f\left(\frac{4-\sqrt{10}}{3}, 1\right) \approx-0.7316, \\ f\left(\frac{4+\sqrt{10}}{3}, 1\right) \approx-5.4165, f\left(\frac{4-\sqrt{22}}{3},-1\right) \approx-0.7637, f\left(\frac{4+\sqrt{22}}{3},-1\right) \approx-16.0510 . \end{gathered} $$ 经比较，便可得到 $\max _{(x, y) \in D} f(x, y)=f(5,1)=34, ~ \min _{(x, y) \in D} f(x, y)=f(-5,1)=-236$ ．