下册 7.5 多元函数微分的应用 第11题

\section*{解题过程：} （1）解方程组 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}=\cos x-\cos (x+y)=0, \\ f_{y}=\cos y-\cos (x+y)=0,\end{array}\right.$ 得 $\cos x=\cos y$ ，因此稳定点在 $x=y$ 或 $x+y=2 \pi$ 上． 在区域内部，将 $x=y$ 代人方程得 $\displaystyle \cos x-\cos 2 x=-2 \sin \frac{3 x}{2} \sin \left(-\frac{x}{2}\right)=0$ ．于是区域内部仅 $\displaystyle \left(\frac{2}{3} \pi, \frac{2}{3} \pi\right)$为稳定点，$\displaystyle z\left(\frac{2}{3} \pi, \frac{2}{3} \pi\right)=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ． 在边界 $x=0,0 \leqslant y \leqslant 2 \pi ; y=0,0 \leqslant x \leqslant 2 \pi ; x+y=2 \pi$ 上函数值均为零． 所以函数在点 $\displaystyle \left(\frac{2}{3} \pi, \frac{2}{3} \pi\right)$ 取得最大值 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，在边界上取得最小值 0 ． （2）解方程组 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}=\cos x-\sin (x-y)=0, \\ f_{y}=-\sin y+\sin (x-y)=0,\end{array}\right.$ 得 $\displaystyle \sin y=\cos x, x=\frac{1}{3} \pi, y=\frac{1}{6} \pi$ 。于是区域内部仅 $\displaystyle \left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{6} \pi\right)$ 为稳定点，$\displaystyle f\left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{6} \pi\right)=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ． 在边界 $\displaystyle x=0,0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}, f(0, y)=2 \cos y$ ； 在边界 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}, f\left(\frac{\pi}{2}, y\right)=1+\cos y+\sin y$ ； 在边界 $\displaystyle y=0,0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, f(x, 0)=\sin x+1+\cos x$ ； 在边界 $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}, 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, f\left(x, \frac{\pi}{2}\right)=2 \sin x$ 。 所以函数在边界上的最大值为 $1+\sqrt{2}$ ，最小值为 0 ．所以函数在点 $\displaystyle \left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{6} \pi\right)$ 取得最大值 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，在边界上取得最小值 0 。 （3）证明 $\displaystyle \sin x \cdot \sin y \cdot \sin (x+y) \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ 归结为求 $f(x, y)=\sin x \cdot \sin y \cdot \sin (x+y)$ 在 $05$ ．故函数在 $D$ 的最大值和最小值分别是 $\displaystyle \frac{61}{12}, 1$ ．