下册 7.5 多元函数微分的应用 第12题
📝 题目
12．求下列函数的条件极值．
（1）求 $f(x, y)=x^{2}+y^{2}$ 在 $x+y-1=0$ 下的极值．
（2）求 $f(x, y, z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ 在约束条件 $x+y+z=2, x^{2}+y^{2}+z^{2}=12$ 下的极值，并判断极值的类型．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $L(x, y, \lambda)=x^{2}+y^{2}+\lambda(x+y-1)$ 。求偏导数并令它们为零，有
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=2 x+\lambda=0 \\
L_{y}=2 y+\lambda=0 \\
L_{z}=x+y-1=0
\end{array}\right.
$$
解得 $\displaystyle x=y=\frac{1}{2}, \lambda=-1$ ．
当 $\displaystyle x=y=\frac{1}{2}, \lambda=-1$ 时，函数 $L(x, y, z, \lambda)$ 的二阶微分 $\mathrm{d}^{2} L(x, y, z, \lambda)=2 \mathrm{~d} x^{2}+2 \mathrm{~d} y^{2}>0$ 。故函数在唯一稳定点处取得极小值，极小值 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ ．
（2）记 $L(x, y, z, \lambda, \mu)=\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)+\lambda(x+y+z-2)+\mu\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-12\right)$ ，求偏导数并令它们为零，有
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=3 x^{2}+\lambda+2 \mu x=0 \\
L_{y}=3 y^{2}+\lambda+2 \mu y=0 \\
L_{z}=3 z^{2}+\lambda+2 \mu z=0 \\
L_{\lambda}=x+y+z-2=0 \\
L_{\mu}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-12=0
\end{array}\right.
$$
解得 $\displaystyle x=y=z=\frac{2}{3}, \mu=-2, \lambda=-8$ 或 $x=y=z=2, \mu=6, \lambda=-20$ 或 $x=y=z=-2, \mu=-6, \lambda=-4$ ．故函数 $L(x, y, z, \lambda, \mu)$ 有三个稳定点 $\displaystyle (2,2,2,-20,6),(-2,-2,-2,-4,-6),\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3},-2,-8\right)$ ．
函数 $L(x, y, z, \lambda, \mu)$ 的二阶微分
$$
\mathrm{d}^{2} L(x, y, z, \lambda, \mu)=(6 x+2 \mu) \mathrm{d} x^{2}+(6 y+2 \mu) \mathrm{d} y^{2}+(6 z+2 \mu) \mathrm{d} z^{2}
$$
对 $x=y=z=2, \mu=6, \lambda=-20, \mathrm{~d}^{2} L(x, y, z, \lambda, \mu)=(6 x+2 \mu) \mathrm{d} x^{2}+(6 y+2 \mu) \mathrm{d} y^{2}+(6 z+2 \mu) \mathrm{d} z^{2}>0$ ．所以函数在点 $(2,2,2)$ 取极小值 24 ．
对 $x=y=z=-2, \mu=-6, \lambda=-4, \mathrm{~d}^{2} L(x, y, z, \lambda, \mu)=(6 x+2 \mu) \mathrm{d} x^{2}+(6 y+2 \mu) \mathrm{d} y^{2}+(6 z+2 \mu) \mathrm{d} z^{2}<0$ ．所以函数在点 $(-2,-2,-2)$ 取极大值 -24 ．
对 $\displaystyle x=y=z=\frac{2}{3}, \mu=-2, \lambda=-8$ ，
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} L^{2}(x, y, z, \lambda, \mu)=(6 x+2 \mu) \mathrm{d} x^{2}+(6 y+2 \mu) \mathrm{d} y^{2}+(6 z+2 \mu) \mathrm{d} z^{2}=0 \\
& \mathrm{~d}^{3} L(x, y, z, \lambda, \mu)=6 \mathrm{~d} x^{3}+6 \mathrm{~d} y^{3}+6 \mathrm{~d} z^{3} \neq 0
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ 不是函数极值点．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：建立拉格朗日函数
对于问题（1），构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (x + y - 1)$。
公式：L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)
提示：注意约束条件要化为等于0的形式。
步骤 2/8
目标：求偏导数并令为零
计算 $L$ 对 $x, y, \lambda$ 的偏导数并令其为零：
$$
\begin{cases}
L_x = 2x + \lambda = 0 \\
L_y = 2y + \lambda = 0 \\
L_\lambda = x + y - 1 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意不要遗漏对拉格朗日乘子的偏导。
步骤 3/8
目标：解方程组得到稳定点
由前两个方程得 $x = y$，代入第三个得 $2x - 1 = 0$，解得 $x = y = \frac{1}{2}$，进而 $\lambda = -1$。
提示：解方程时注意对称性简化计算。
步骤 4/8
目标：判断极值类型（二阶微分）
计算 $L$ 的二阶微分：$\mathrm{d}^2 L = 2 \mathrm{d}x^2 + 2 \mathrm{d}y^2 > 0$（因为 $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y$ 不全为零），所以该点为极小值点。极小值为 $f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$。
公式：\mathrm{d}^2 L = L_{xx} \mathrm{d}x^2 + 2L_{xy} \mathrm{d}x\mathrm{d}y + L_{yy} \mathrm{d}y^2
提示：对于二元函数，二阶微分正定则极小，负定则极大。
步骤 5/8
目标：建立两个约束的拉格朗日函数
对于问题（2），构造拉格朗日函数 $L(x, y, z, \lambda, \mu) = x^3 + y^3 + z^3 + \lambda (x + y + z - 2) + \mu (x^2 + y^2 + z^2 - 12)$。
公式：L = f + \lambda g_1 + \mu g_2
提示：注意有两个约束，需要两个乘子。
步骤 6/8
目标：求偏导数并令为零
计算偏导数并令为零：
$$
\begin{cases}
L_x = 3x^2 + \lambda + 2\mu x = 0 \\
L_y = 3y^2 + \lambda + 2\mu y = 0 \\
L_z = 3z^2 + \lambda + 2\mu z = 0 \\
L_\lambda = x + y + z - 2 = 0 \\
L_\mu = x^2 + y^2 + z^2 - 12 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意每个变量对应的方程形式相同，可考虑对称性。
步骤 7/8
目标：解方程组得到所有稳定点
由前三个方程相减可得 $(x-y)(3(x+y)+2\mu)=0$，同理可得 $x=y=z$ 或 $x,y,z$ 两两不等。但结合约束可解得三组解：
- $x=y=z=\frac{2}{3}$，对应 $\mu=-2, \lambda=-8$；
- $x=y=z=2$，对应 $\mu=6, \lambda=-20$；
- $x=y=z=-2$，对应 $\mu=-6, \lambda=-4$。
提示：注意对称性可简化求解，但需验证所有可能。
步骤 8/8
目标：判断极值类型（二阶微分及更高阶）
计算二阶微分：$\mathrm{d}^2 L = (6x+2\mu)\mathrm{d}x^2 + (6y+2\mu)\mathrm{d}y^2 + (6z+2\mu)\mathrm{d}z^2$。
- 在 $(2,2,2)$：$6x+2\mu=12+12=24>0$，故 $\mathrm{d}^2L>0$，极小值 $f=24$。
- 在 $(-2,-2,-2)$：$6x+2\mu=-12-12=-24<0$，故 $\mathrm{d}^2L<0$，极大值 $f=-24$。
- 在 $(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$：$6x+2\mu=4-4=0$，二阶微分为0，需考虑三阶微分：$\mathrm{d}^3L = 6\mathrm{d}x^3+6\mathrm{d}y^3+6\mathrm{d}z^3$，在约束下不为0，故不是极值点。
公式：\mathrm{d}^2 L = \sum L_{x_i x_j} \mathrm{d}x_i \mathrm{d}x_j
提示：当二阶微分为0时，需考虑更高阶微分或直接分析。
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