下册 7.5 多元函数微分的应用 第13题
📝 题目
13．求下列函数在条件 $x y z=1$ 下的极值．
（1）$f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}$ ．
（2）$f(x, y, z)=2 x^{2}+2 y^{2}+z^{4}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $L(x, y, z, \lambda)=x^{4}+y^{4}+z^{4}+\lambda(x y z-1)$ 。求偏导数并令它们为零，有
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=4 x^{3}+\lambda y z=0 \\
L_{y}=4 y^{3}+\lambda x z=0 \\
L_{z}=4 z^{3}+\lambda x y=0 \\
L_{\lambda}=x y z-1=0
\end{array}\right.
$$
解之得四个稳定点 $(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)$ ．在这些点上 $f(x, y, z)=3$ ．
又 在 $x y z=1$ 上，$\displaystyle f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+\frac{1}{x^{4} y^{4}} \geqslant 3 \sqrt[3]{x^{4} \cdot y^{4} \cdot \frac{1}{x^{4} y^{4}}}=3$ ，且 当 $\displaystyle x^{4}=y^{4}=\frac{1}{x^{4} y^{4}}$ ，即 $|x|=|y|=|z|$ 时取等号，四个稳定点均为极小值．
（2）令 $L(x, y, z, \lambda)=2 x^{2}+2 y^{2}+z^{4}+\lambda(x y z-1)$ 。求偏导数并令它们为零，有
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=4 x+\lambda y z=0 \\
L_{y}=4 y+\lambda x z=0 \\
L_{z}=4 z^{3}+\lambda x y=0 \\
L_{\lambda}=x y z-1=0
\end{array}\right.
$$
解之得三个稳定点 $(1,-1,-1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)$ ．在这些点上 $f(x, y, z)=5$ ．
又 在 $x y z=1$ 上，$f(x, y, z)=2 x^{2}+2 y^{2}+z^{4}=x^{2}+x^{2}+y^{2}+y^{2}+z^{4} \geqslant 5 \sqrt[5]{x^{4} \cdot y^{4} \cdot z^{4}}=5$ ，且 当 $x^{2}=y^{2}=z^{4}$ 时取等号，所以三个稳定点均为函数 $f(x, y, z)=2 x^{2}+2 y^{2}+z^{4}$ 的极小值．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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