下册 7.5 多元函数微分的应用 第14题
📝 题目
14．若变量 $x, y, z, t$ 满足 $x y z t=c^{4}$ ，其中 $c$ 为常数，求函数 $f(x, y, z, t)=x+y+z+t$ 在上述条件下的极值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $L(x, y, z, t, \lambda)=x+y+z+t+\lambda\left(x y z t-c^{4}\right)$ 。求偏导数并令它们为零，有
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=1+\lambda y z t=0 \\
L_{y}=1+\lambda x z t=0 \\
L_{z}=1+\lambda x y t=0 \\
L_{t}=1+\lambda x y z=0 \\
L_{\lambda}=x y z t-c^{4}=0
\end{array}\right.
$$
解方程组得 $x=y=z=t=c$ ．
由于当 $n$ 个正数的积一定时，其和必有最小值，故 $f(x, y, z, t)$ 在唯一稳定点 $(c, c, c, c)$ 取得最小值，也是极小值，所以极小值 $f(c, c, c, c)=4 c$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造拉格朗日函数
引入拉格朗日乘子 $\lambda$，构造拉格朗日函数：
$$L(x, y, z, t, \lambda) = x + y + z + t + \lambda (x y z t - c^4)$$
公式：L = f + λ g
提示：注意约束条件要写成 $g=0$ 的形式，即 $xyz t - c^4 = 0$。
步骤 2/6
目标：求偏导数并令为零
对 $L$ 分别求关于 $x, y, z, t, \lambda$ 的偏导数，并令其等于零：
$$
\begin{cases}
L_x = 1 + \lambda y z t = 0 \\
L_y = 1 + \lambda x z t = 0 \\
L_z = 1 + \lambda x y t = 0 \\
L_t = 1 + \lambda x y z = 0 \\
L_\lambda = x y z t - c^4 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意对 $x$ 求偏导时，$y, z, t$ 视为常数，$\lambda$ 也视为常数。
步骤 3/6
目标：推导变量相等关系
由前四个方程可得：
$$\lambda y z t = \lambda x z t = \lambda x y t = \lambda x y z = -1$$
假设 $\lambda \neq 0$，且 $x, y, z, t \neq 0$，则分别除以对应变量可得：
$$x = y = z = t$$
提示：注意要排除 $\lambda = 0$ 的情况，否则会导致矛盾（因为 $1=0$）。同时 $x, y, z, t$ 不能为零，否则乘积为零，与 $c^4$ 矛盾（假设 $c \neq 0$）。
步骤 4/6
目标：代入约束条件求解
将 $x = y = z = t$ 代入约束条件 $x y z t = c^4$，得：
$$x^4 = c^4 \Rightarrow x = c \quad (\text{取正数，因为通常考虑正变量})$$
因此稳定点为 $(c, c, c, c)$。
提示：若 $c$ 为常数，通常考虑 $c>0$，且变量为正，否则极值可能不存在。
步骤 5/6
目标：判断极值类型
由于 $x, y, z, t > 0$，且乘积固定，由均值不等式，当 $x=y=z=t$ 时和最小。因此该稳定点为极小值点，也是最小值点。
公式：均值不等式：$\frac{x+y+z+t}{4} \geq \sqrt[4]{xyzt}$
提示：注意均值不等式等号成立条件即为各变量相等。
步骤 6/6
目标：计算极值
代入稳定点得极小值：
$$f(c, c, c, c) = c + c + c + c = 4c$$
提示：注意极值可能依赖于常数 $c$。
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