下册 7.5 多元函数微分的应用 第15题

\section*{解题过程：} （1）所求问题即为求目标函数 $z=x y$ 在约束条件 $x^{2}+y^{2}=1$ 下的最大值和最小值． 作拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=x y+\lambda\left(x^{2}+y^{2}-1\right)$ 。求 $L$ 的一阶偏导数，并令它们都为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=y+2 \lambda x=0 \\ L_{y}=x+2 \lambda y=0 \\ L_{\lambda}=x^{2}+y^{2}-1=0 \end{array}\right. $$ 解得 $\displaystyle x= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \lambda=-\frac{1}{2}$ 或 $\displaystyle \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \mp \frac{\sqrt{2}}{2}, \lambda=\frac{1}{2}$ 。这就是函数 $L(x, y, \lambda)$ 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得。 又因为函数 $z=x y$ 在有界闭集 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上连续，所以函数 $z=x y$ 在 $D$ 上必存在最大值，最小值．又 $\displaystyle f\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}, f\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \mp \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2}$ ，故函数 $z=x y$ 的最大值为 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ，最小值为 $\displaystyle -\frac{1}{2}$ ． （2）问题归为求目标函数 $f(x, y, z)=a x+b y+c z$ 在约束条件 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值和最小值． 作拉格朗日函数 $L(x, y, z, \lambda)=a x+b y+c z+\lambda\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\right)$ ，则 $$ L_{x}=a+2 \lambda x, \quad L_{y}=b+2 \lambda y, \quad L_{z}=c+2 \lambda z, \quad L_{\lambda}=x^{2}+y^{2}-1 $$ 令 $L$ 的一阶偏导数都为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=a+2 \lambda x=0 \\ L_{y}=b+2 \lambda y=0 \\ L_{z}=c+2 \lambda z=0 \\ L_{\lambda}=x^{2}+y^{2}-1=0 \end{array}\right. $$ 解得函数 $L(x, y, z, \lambda)$ 的稳定点为 $\displaystyle \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}, \frac{c}{d}\right)$ 与 $\displaystyle \left(-\frac{a}{d},-\frac{b}{d},-\frac{c}{d}\right)$ ，其中 $d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ． 三元函数 $f(x, y, z)=a x+b y+c z$ 在约束条件 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值和最小值必存在，其最大值为 $f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)=a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ，最小值为 $f\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)=a x_{2}+b y_{2}+c z_{2} =-\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ． （3）作拉格朗日函数 $L(x, y, z, \lambda)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(a x+b y+c z-1)$ ，则 $$ L_{x}=2 x+\lambda a, L_{y}=2 y+\lambda b, L_{z}=2 z+\lambda c, L_{\lambda}=a x+b y+c z-1 $$ 令 $L_{x}=L_{y}=L_{z}=L_{\lambda}=0$ ，得唯一解 $\displaystyle \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}, \frac{c}{d}\right)$ ，其中 $d=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ． 因 $f$ 有最小值，而稳定点唯一，故该点即为最小值点，故最小值为 $$ f_{\min }=\left(\frac{a}{d}\right)^{2}+\left(\frac{b}{d}\right)^{2}+\left(\frac{c}{d}\right)^{2}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} $$ （4）问题归为求目标函数 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ 在约束条件 $a x+b y+c z=1$ 下的最小值． 作拉格朗日函数 $\displaystyle L(x, y, z, \lambda)=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}+\lambda(a x+b y+c z-1)$ 。求偏导数并令它们为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=a \lambda+\frac{2 x}{a^{2}}=0 \\ L_{y}=b \lambda+\frac{2 y}{b^{2}}=0 \\ L_{z}=c \lambda+\frac{2 z}{c^{2}}=0 \\ L_{\lambda}=a x+b y+c z-1=0 \end{array}\right. $$ 解之得函数 $L(x, y, z, \lambda)$ 的唯一稳定点 $\displaystyle \left(\frac{a^{3}}{d}, \frac{b^{3}}{d}, \frac{c^{3}}{d}\right)$ ，其中 $d=a^{4}+b^{4}+c^{4}$ ． 因三元函数 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ 在约束条件 $a x+b y+c z=1$ 下的最小值必存在，故 $u$ 的最小值为 $$ u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{a^{4}+b^{4}+c^{4}} $$ （5）所求问题即为求目标函数 $f(x, y)=x+y$ 在约束条件 $x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}=3$ 下的最大值． 作拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=x+y+\lambda\left(x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}-3\right)$ ，则 $$ L_{x}=1+2 \lambda\left(x+x y^{2}\right), \quad L_{y}=1+2 \lambda\left(y+x^{2} y\right), \quad L_{\lambda}=x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}-3 . $$ 令 $L$ 的一阶偏导数都为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=1+2 \lambda\left(x+x y^{2}\right)=0 \\ L_{y}=1+2 \lambda\left(y+x^{2} y\right)=0 \\ L_{\lambda}=x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}-3=0 \end{array}\right. $$ 解方程组得函数 $L(x, y, \lambda)$ 的稳定点 $(1,1),(-1,-1)$ ． 函数 $f(x, y)=x+y$ 在约束条件 $x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}=3$ 下的最值存在，因此最大值为 $f_{\text {max }}=f(1,1)=2$ ，最小值为 $f_{\text {min }}=f(-1,-1)=-2$ ： （6）所求问题即为求目标函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3} x+1$ 在约束条件 $4 x^{2}+y^{2}-1=0$ 下的最大值和最小值。 作拉格朗日函数 $\displaystyle L(x, y, \lambda)=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3} x+1+\lambda\left(4 x^{2}+y^{2}-1\right)$ 。求偏导数并令它们为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=2 x+\frac{2}{3}+8 \lambda x=0 \\ L_{y}=2 y+2 y \lambda=0 \\ L_{\lambda}=4 x^{2}+y^{2}-1=0 \end{array}\right. $$ 解之得函数 $L(x, y, \lambda)$ 的稳定点 $\displaystyle x=\frac{1}{9}, y= \pm \frac{\sqrt{77}}{9}, \lambda=-1$ ．故 $$ f_{\min }=f\left(\frac{1}{9},-\frac{\sqrt{77}}{9}\right)=1 \frac{72}{81}, f_{\max }=f\left(\frac{1}{9}, \frac{\sqrt{77}}{9}\right)=2 \frac{3}{81} . $$