下册 7.5 多元函数微分的应用 第16题
📝 题目
16．求函数 $u=x-2 y+2 z$ 在 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 上的最大值和最小值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $L(x, y, z, \lambda)=x-2 y+2 z-\lambda\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\right)$ 。求偏导数并令它们为零，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=1-2 \lambda x=0 \\
L_{y}=-2-2 \lambda y=0 \\
L_{z}=2-2 \lambda z=0 \\
L_{\lambda}=-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\right)=0
\end{array}\right.
$$
解之得 $\displaystyle (x, y, z)= \pm\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ．
因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值．由于目标函数的驻点为 $\displaystyle \pm\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ，对应的目标函数值为 $\pm 3$ ，所以
$$
f_{\max }=f\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)=3, f_{\min }=f\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)=-3
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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