下册 7.5 多元函数微分的应用 第17题
📝 题目
17．求下列函数在约束条件下的最大值和最小值．
（1）$u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在条件 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最大值和最小值，其中 $a>b>c>0$ 。
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}(x>0, y>0, z>0)$ 在条件 $x y z=a^{3}$ 下的最小值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $\displaystyle L=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1\right)$ ，由
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=2 x+\frac{2 \lambda}{a} x=0 \\
L_{y}=2 y+\frac{2 \lambda}{b} y=0 \\
L_{z}=2 z+\frac{2 \lambda}{c} z=0 \\
L_{\lambda}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1=0
\end{array}\right.
$$
解得 $x=a, y=0, z=0, \lambda=-a^{2} ; x=0, y=b, z=0, \lambda=-b^{2} ; x=0, y=0, z=c, \lambda=-c^{2}$ 。所以所求的最大值为 $a^{2}$ ，最小值为 $c^{2}$ ．
（2）在条件 $x y z=a^{3}$ 下，$\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geqslant 3 \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z}}=\frac{3}{a}$ ，且当 $x=y=z=a$ 时等号成立。
所以函数 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ 的最小值为 $\displaystyle f(a, a, a)=\frac{3}{a}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入拉格朗日函数
对于问题（1），我们要求函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在约束条件 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 下的最大值和最小值，其中 $a>b>c>0$。使用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数：
$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2+\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)$$
公式：L = x^2+y^2+z^2 + λ(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1)
提示：注意拉格朗日函数的形式，约束条件要化为等于0的形式。
步骤 2/6
目标：求偏导数并令其为零
对 $L$ 分别求关于 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，并令它们等于0，得到方程组：
$$
\begin{cases}
L_x = 2x + \frac{2\lambda}{a^2}x = 0 \\
L_y = 2y + \frac{2\lambda}{b^2}y = 0 \\
L_z = 2z + \frac{2\lambda}{c^2}z = 0 \\
L_\lambda = \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1 = 0
\end{cases}
$$
公式：L_x = 2x(1+λ/a^2)=0, 类似其他
提示：注意求导时不要漏掉系数，特别是分母的平方。
步骤 3/6
目标：分析方程组的解
由前三个方程，每个方程都是 $x(1+\lambda/a^2)=0$ 的形式，因此每个变量要么为0，要么 $1+\lambda/a^2=0$。由于 $a>b>c>0$，$\lambda$ 只能取一个值，所以最多只有一个变量非零。考虑三种情况：
- 若 $x \neq 0$，则 $\lambda = -a^2$，代入约束得 $x^2/a^2=1$，故 $x=\pm a$，$y=z=0$。
- 若 $y \neq 0$，则 $\lambda = -b^2$，得 $y=\pm b$，$x=z=0$。
- 若 $z \neq 0$，则 $\lambda = -c^2$，得 $z=\pm c$，$x=y=0$。
提示：注意 $\lambda$ 只能取一个值，因此不能有两个变量同时非零。
步骤 4/6
目标：计算目标函数值并确定最值
将上述可能的点代入 $u=x^2+y^2+z^2$：
- 点 $(\pm a,0,0)$ 给出 $u=a^2$；
- 点 $(0,\pm b,0)$ 给出 $u=b^2$；
- 点 $(0,0,\pm c)$ 给出 $u=c^2$。
由于 $a>b>c>0$，所以最大值为 $a^2$，最小值为 $c^2$。
公式：u = x^2+y^2+z^2
提示：注意比较大小，题目中 $a>b>c>0$，所以最大值对应最大的 $a^2$，最小值对应最小的 $c^2$。
步骤 5/6
目标：问题（2）使用均值不等式
对于问题（2），求 $f(x,y,z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ 在条件 $xyz=a^3$（$x,y,z>0$）下的最小值。由于 $x,y,z>0$，可以使用均值不等式：
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}} = 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}} = \frac{3}{a}$$
公式：算术-几何平均不等式：对于正数，和≥几何平均的3倍
提示：注意均值不等式要求所有项为正数，且等号成立当且仅当所有项相等。
步骤 6/6
目标：确定等号成立条件并给出最小值
均值不等式等号成立当且仅当 $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$，即 $x=y=z$。代入条件 $xyz=a^3$ 得 $x^3=a^3$，所以 $x=y=z=a$。因此最小值为 $f(a,a,a)=\frac{3}{a}$。
提示：注意验证等号成立条件是否满足约束条件，且变量为正。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。