下册 7.5 多元函数微分的应用 第18题
📝 题目
18．求 $f(x, y)=x y z$ 在条件 $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}$ 下的极值 $(x>0, y>0, z>0, r>0)$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
构造拉格朗日函数 $\displaystyle L(x, y, z, \lambda)=x y z+\lambda\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{r}\right)$ ．对 $L$ 求偏导数，并令它们都等于零，有
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=y z-\frac{\lambda}{x^{2}}=0 \\
L_{y}=x z-\frac{\lambda}{y^{2}}=0 \\
L_{z}=x y-\frac{\lambda}{z^{2}}=0 \\
L_{\lambda}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{r}=0
\end{array}\right.
$$
由此解得 $L$ 的稳定点为 $x=y=z=3 r, \lambda=(3 r)^{4}$ ．
为判定 $f(3 r, 3 r, 3 r)=(3 r)^{3}$ 是否为所求条件下的极大（小）值，可把条件 $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}$ 看作隐函数 $z=z(x, y)$（满足隐函数定理条件），并把目标函数 $f(x, y, z)=x y z$ 看作 $f$ 与 $z=z(x, y)$ 的复合函数，再应用极值的充分条件作出判断。为此计算如下：
$$
\begin{gathered}
z_{x}=-\frac{z^{2}}{x^{2}}, z_{y}=-\frac{z^{2}}{y^{2}}, f_{x}=y z+x y z_{x}=y z-\frac{y z^{2}}{x}, f_{y}=x z-\frac{x z^{2}}{y} . \\
f_{x x}=y z_{x}+y z_{x}+x y z_{x x}=\frac{2 y z^{3}}{x^{3}}, f_{x y}=z+y z_{x}+x z_{x}+x y z_{x y}=z-\frac{z^{2}}{y}-\frac{z^{2}}{x}+\frac{2 z^{3}}{x y}, f_{y y}=\frac{2 x z^{3}}{y^{3}} .
\end{gathered}
$$
当 $x=y=z=3 r$ 时，
$$
f_{x x}=6 r=f_{y y}, f_{x y}=3 r, f_{x x} f_{y y}-f_{x y}^{2}=36 r^{2}-9 r^{2}=27 r^{2}>0 .
$$
由此可见，所求得的稳定点为极小值点，且是最小值点．于是 $x y z \geqslant(3 r)^{3}$ ．
令 $x=a, y=b, z=c$ ，则有 $\displaystyle r=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{-1}$ ，代人上面不等式有
$$
a b c \geqslant\left[3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{-1}\right]^{3} \text { 或 } 3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{-1} \leqslant \sqrt[3]{a b c} \text {. }
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造拉格朗日函数
求函数 $f(x,y,z)=xyz$ 在约束条件 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}$ 下的极值，其中 $x>0,y>0,z>0,r>0$。构造拉格朗日函数：
$$L(x,y,z,\lambda)=xyz+\lambda\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{r}\right)$$
公式：拉格朗日函数 $L=f+\lambda g$
提示：注意约束条件要化为等于0的形式，即 $g=0$。
步骤 2/7
目标：求偏导数并令其为零
对 $L$ 求偏导数，并令它们都等于零：
$$\begin{cases}
L_x = yz - \frac{\lambda}{x^2} = 0 \\
L_y = xz - \frac{\lambda}{y^2} = 0 \\
L_z = xy - \frac{\lambda}{z^2} = 0 \\
L_\lambda = \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{r} = 0
\end{cases}$$
公式：偏导数公式
提示：注意 $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$，符号不要弄错。
步骤 3/7
目标：求解稳定点
由前三个方程可得 $yz = \frac{\lambda}{x^2}$, $xz = \frac{\lambda}{y^2}$, $xy = \frac{\lambda}{z^2}$。将第一式乘以 $x$，第二式乘以 $y$，第三式乘以 $z$，得 $xyz = \frac{\lambda}{x} = \frac{\lambda}{y} = \frac{\lambda}{z}$，因此 $x=y=z$。代入约束条件得 $\frac{3}{x}=\frac{1}{r}$，解得 $x=y=z=3r$。再代入第一式得 $yz = (3r)^2 = \frac{\lambda}{(3r)^2}$，所以 $\lambda = (3r)^4$。稳定点为 $(3r,3r,3r)$。
公式：由 $\frac{\lambda}{x}=\frac{\lambda}{y}$ 得 $x=y$
提示：注意 $\lambda$ 可能为零？但若 $\lambda=0$，则 $xyz=0$，与 $x,y,z>0$ 矛盾，故 $\lambda\neq0$。
步骤 4/7
目标：利用隐函数求导判断极值类型
将约束条件视为隐函数 $z=z(x,y)$，对约束条件两边求偏导：
$$-\frac{1}{x^2} - \frac{1}{z^2}z_x = 0 \Rightarrow z_x = -\frac{z^2}{x^2}$$
同理 $z_y = -\frac{z^2}{y^2}$。目标函数 $f(x,y)=xyz(x,y)$，求一阶偏导：
$$f_x = yz + xy z_x = yz - \frac{yz^2}{x}$$
$$f_y = xz + xy z_y = xz - \frac{xz^2}{y}$$
在稳定点处 $f_x=0, f_y=0$。
公式：隐函数求导：$z_x = -\frac{F_x}{F_z}$
提示：注意复合函数求导时，$f$ 对 $x$ 的偏导包括显式部分和通过 $z$ 的隐式部分。
步骤 5/7
目标：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数：
$$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(yz - \frac{yz^2}{x}) = yz_x + yz_x + xy z_{xx} = 2y z_x + xy z_{xx}$$
其中 $z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(-\frac{z^2}{x^2}) = \frac{2z^3}{x^3}$（计算过程略），代入得 $f_{xx} = \frac{2yz^3}{x^3}$。
同理 $f_{yy} = \frac{2xz^3}{y^3}$。
混合偏导：
$$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(yz - \frac{yz^2}{x}) = z + yz_y - \frac{z^2}{x} - \frac{2yz}{x}z_y = z - \frac{z^2}{x} - \frac{z^2}{y} + \frac{2z^3}{xy}$$
公式：二阶偏导公式
提示：计算 $z_{xx}$ 和 $z_{xy}$ 时要仔细，利用 $z_x$ 的表达式再次求导。
步骤 6/7
目标：代入稳定点判断极值
在稳定点 $x=y=z=3r$ 处，计算二阶偏导数值：
$$f_{xx} = \frac{2y z^3}{x^3} = \frac{2(3r)(3r)^3}{(3r)^3} = 6r$$
$$f_{yy} = \frac{2x z^3}{y^3} = 6r$$
$$f_{xy} = z - \frac{z^2}{x} - \frac{z^2}{y} + \frac{2z^3}{xy} = 3r - \frac{(3r)^2}{3r} - \frac{(3r)^2}{3r} + \frac{2(3r)^3}{(3r)^2} = 3r - 3r - 3r + 6r = 3r$$
判别式：$\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (6r)(6r) - (3r)^2 = 36r^2 - 9r^2 = 27r^2 > 0$，且 $f_{xx}=6r>0$，故为极小值点。
公式：极值判别式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$
提示：注意 $r>0$，所以 $f_{xx}>0$，$\Delta>0$ 表明是极小值。
步骤 7/7
目标：得出极值并转化为不等式
极小值为 $f(3r,3r,3r) = (3r)^3$，且由于是唯一稳定点且边界趋于无穷大，该极小值即为最小值。因此有 $xyz \ge (3r)^3$。由约束条件得 $r = \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^{-1}$，代入得
$$xyz \ge \left[3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^{-1}\right]^3$$
即 $3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^{-1} \le \sqrt[3]{xyz}$。
公式：不等式 $3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{-1} \le \sqrt[3]{abc}$
提示：注意不等号方向：由 $xyz \ge (3r)^3$ 推出 $\sqrt[3]{xyz} \ge 3r$，而 $r = \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^{-1}$，所以 $\sqrt[3]{xyz} \ge 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^{-1}$。
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