下册 7.5 多元函数微分的应用 第19题

\section*{解题过程：} 作拉格朗日函数 $L(x, y, z)=\ln x+2 \ln y+3 \ln z+\lambda\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 r^{2}\right)$ 。令 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=\frac{1}{x}+2 \lambda x=0 \\ L_{y}=\frac{2}{y}+2 \lambda y=0 \\ L_{z}=\frac{3}{z}+2 \lambda z=0 \\ L_{\lambda}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 r^{2}=0 \end{array}\right. $$ 解得 $x=r, y=\sqrt{2} r, z=\sqrt{3} r$ ． 约束集 $D=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 r^{2}, x>0, y>0, z>0\right\}$ 是一有界集，且当 $x \rightarrow 0^{+}$，或 $y \rightarrow 0^{+}$，或 $z \rightarrow 0^{+}$，或其中二者大于而趋于 0 时，函数 $f(x, y, z)$ 均趋于 $-\infty$ ，因此目标函数无最小值，因此函数 $f(x, y, z)$ 的唯一极大值点是函数的最大值点，$f_{\max }=f(r, \sqrt{2} r, \sqrt{3} r)=\ln \left(6 \sqrt{3} r^{6}\right)$ ． 由于在 $D$ 内有 $\displaystyle r^{2} \doteq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{6}$ ，代人上式即得 $\displaystyle x y^{2} z^{3} \leqslant 6 \sqrt{3}\left(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{6}\right)^{3}$ ．于是 $$ \ln x+2 \ln y+3 \ln z \leqslant \ln \left[\sqrt{r^{2}}\left(2 r^{2}\right)\left(3 r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right]=\ln \left(6 \sqrt{3} r^{6}\right), $$ 即 $$ x y^{2} z^{3} \leqslant 6 \sqrt{3}\left(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{6}\right)^{3} . $$ 两边平方得 $$ x^{2} y^{4} z^{6} \leqslant 108\left(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{6}\right)^{6} . $$ 令 $x^{2}=a, y^{2}=b, z^{2}=c$ 有 $\displaystyle a b^{2} c^{3} \leqslant 108\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^{6}$ ，其中 $a, b, c$ 均为正实数。