下册 7.5 多元函数微分的应用 第20题
📝 题目
20．求下列函数在条件 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=a\left(x_{i}>0\right)$ 限制下的大（小）值，并证不等式．
（1）$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ 。并证明 $\displaystyle \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ 。
（2）$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2},\left(a_{i}>0\right)$ ，并证明
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geqslant \frac{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)^{2}}{n}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）作函数 $L\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \lambda\right)=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}+\lambda\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-a\right),\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}>0\right)$ 。解方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
L_{x_{1}}= & \frac{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}{x_{1}}+\lambda=0 \\
L_{x_{2}}= & \frac{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}{x_{2}}+\lambda=0 \\
& \cdots \cdots \\
L_{x_{n}}= & \frac{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}{x_{n}}+\lambda=0 \\
L_{\lambda}= & x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-a=0
\end{aligned}\right.
$$
解得稳定点 $\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=\frac{a}{n}$ ．因稳定点唯一，由题意知，最大值是存在的，所以 $\displaystyle f_{\text {吸大 }}=f\left(\frac{a}{n}, \frac{a}{n}, \cdots, \frac{a}{n}\right)=\frac{a^{n}}{n^{n}}$ ．从而
$$
\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \sqrt[n]{\frac{a^{n}}{n^{n}}}=\frac{a}{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}
$$
（2）作函数 $L\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \lambda\right)=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2}+\lambda\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-a\right),\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}>0\right)$ ．解方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x_{1}}=2 a_{1} x_{1}+\lambda=0 \\
L_{x_{2}}=2 a_{2} x_{2}+\lambda=0 \\
\quad \cdots \cdots \\
L_{x_{n}}=2 a_{n} x_{n}+\lambda=0 \\
L_{\lambda}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-a=0
\end{array}\right.
$$
得稳定点 $\displaystyle \left(\frac{a}{c a_{1}}, \frac{a}{c a_{2}}, \cdots, \frac{a}{c a_{n}}\right)$ ，其中 $\displaystyle c=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}$ ．
因稳定点唯一，由题意知最小值是存在的，所以函数 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2}$ 的最小值在唯一稳定点取得，$\displaystyle f_{\min }=f\left(\frac{a}{c a_{1}}, \frac{a}{c a_{2}}, \cdots, \frac{a}{c a_{n}}\right)=\frac{a^{2}}{c}$ ．
因此在条件 $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=a\left(x_{i}>0\right)$ 限制下，
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2} \geqslant \frac{a^{2}}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}=\frac{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)^{2}}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}},
$$
当 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=1$ 时有不等式 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geqslant \frac{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)^{2}}{n}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造拉格朗日函数
对于问题(1)，目标函数为 $f(x_1,\dots,x_n)=x_1x_2\cdots x_n$，约束条件为 $x_1+x_2+\cdots+x_n=a$，$x_i>0$。构造拉格朗日函数：
$$L(x_1,\dots,x_n,\lambda)=x_1x_2\cdots x_n+\lambda(x_1+x_2+\cdots+x_n-a)$$
公式：L = f + λ(g - a)
提示：注意拉格朗日函数中约束条件写为 $g(x)=0$ 的形式，这里 $g=x_1+\cdots+x_n-a$。
步骤 2/7
目标：求偏导数并令为零
对每个变量求偏导并令其为零：
$$\begin{cases}
L_{x_1}=\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_1}+\lambda=0\\
L_{x_2}=\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_2}+\lambda=0\\
\cdots\\
L_{x_n}=\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_n}+\lambda=0\\
L_{\lambda}=x_1+x_2+\cdots+x_n-a=0
\end{cases}$$
公式：∂L/∂x_i = 0, ∂L/∂λ = 0
提示：注意 $\frac{\partial}{\partial x_i}(x_1\cdots x_n)=\frac{x_1\cdots x_n}{x_i}$，因为乘积对 $x_i$ 求导时，其他变量视为常数。
步骤 3/7
目标：求解稳定点
由前 $n$ 个方程可得 $\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_i}=-\lambda$，对所有 $i$ 成立，因此 $\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_1}=\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_2}=\cdots=\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_n}$，从而 $x_1=x_2=\cdots=x_n$。代入约束条件得 $n x_i=a$，所以 $x_i=\frac{a}{n}$。稳定点为 $(\frac{a}{n},\dots,\frac{a}{n})$。
公式：x_i = a/n
提示：注意由等式推出所有 $x_i$ 相等时，需确保 $x_1\cdots x_n \neq 0$，而 $x_i>0$ 满足条件。
步骤 4/7
目标：确定最大值并证明不等式
由于稳定点唯一且问题存在最大值（连续函数在紧集上必有最值，但这里区域非紧，但由 $x_i>0$ 且和为常数，当某个 $x_i\to 0$ 时乘积趋于0，故最大值在内部取得），所以最大值在稳定点处取得：
$$f_{\max}=f\left(\frac{a}{n},\dots,\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{a}{n}\right)^n=\frac{a^n}{n^n}$$
因此对任意满足条件的 $x_i$，有 $x_1x_2\cdots x_n \leq \frac{a^n}{n^n}$，两边开 $n$ 次方得 $\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\leq \frac{a}{n}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$，即均值不等式。
公式：f_max = (a/n)^n
提示：注意不等式方向：最大值给出上界，所以乘积小于等于最大值。
步骤 5/7
目标：构造第二问的拉格朗日函数
对于问题(2)，目标函数 $f(x_1,\dots,x_n)=a_1x_1^2+\cdots+a_nx_n^2$，约束条件相同。构造拉格朗日函数：
$$L(x_1,\dots,x_n,\lambda)=a_1x_1^2+\cdots+a_nx_n^2+\lambda(x_1+\cdots+x_n-a)$$
公式：L = Σ a_i x_i^2 + λ(Σ x_i - a)
提示：注意 $a_i>0$ 是已知常数。
步骤 6/7
目标：求偏导并求解稳定点
求偏导并令为零：
$$\begin{cases}
L_{x_1}=2a_1x_1+\lambda=0\\
L_{x_2}=2a_2x_2+\lambda=0\\
\cdots\\
L_{x_n}=2a_nx_n+\lambda=0\\
L_{\lambda}=x_1+\cdots+x_n-a=0
\end{cases}$$
由前 $n$ 个方程得 $x_i=-\frac{\lambda}{2a_i}$，代入约束得 $-\frac{\lambda}{2}\sum\frac{1}{a_i}=a$，解得 $\lambda=-\frac{2a}{\sum 1/a_i}$，从而 $x_i=\frac{a}{a_i\sum 1/a_i}$。记 $c=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}$，则稳定点为 $(\frac{a}{c a_1},\dots,\frac{a}{c a_n})$。
公式：x_i = a/(a_i c), c = Σ 1/a_i
提示：注意解方程时，由 $2a_i x_i = -\lambda$ 得 $x_i = -\lambda/(2a_i)$，然后代入求和。
步骤 7/7
目标：确定最小值并证明不等式
由于目标函数是正定二次型，在约束下存在最小值（且稳定点唯一），最小值在稳定点处取得：
$$f_{\min}=a_1\left(\frac{a}{c a_1}\right)^2+\cdots+a_n\left(\frac{a}{c a_n}\right)^2=\frac{a^2}{c^2}\left(\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right)=\frac{a^2}{c}$$
因此对任意满足条件的 $x_i$，有 $\sum a_i x_i^2 \geq \frac{a^2}{c}$，即 $\sum a_i x_i^2 \geq \frac{(\sum x_i)^2}{\sum 1/a_i}$。特别地，当所有 $a_i=1$ 时，$\sum 1/a_i=n$，得到 $\sum x_i^2 \geq \frac{(\sum x_i)^2}{n}$。
公式：f_min = a^2 / c
提示：注意不等式方向：最小值给出下界，所以平方和大于等于最小值。
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