下册 7.5 多元函数微分的应用 第21题

\section*{解题过程：} （1）作函数 $L(x, y, z, \lambda)=x^{100} y^{200} z^{300}+\lambda(x+y+z-1),(x>0, y>0, z>0)$ 。解方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=100 x^{99} y^{200} z^{300}+\lambda=0 \\ L_{y}=200 x^{100} y^{199} z^{300}+\lambda=0 \\ L_{z}=300 x^{100} y^{200} z^{299}+\lambda=0 \\ L_{\lambda}=x+y+z-1=0 \end{array}\right. $$ 得函数的唯一稳定点 $\displaystyle x=\frac{1}{6}, y=\frac{1}{3}, z=\frac{1}{2}$ ． 因稳定点唯一，由题意知最小值是存在的，所以函数 $f(x, y, z)=x^{100} y^{200} z^{300}$ 的最小值在唯一稳定点取得，即 $\displaystyle \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 是函数 $f(x, y, z)=x^{100} y^{200} z^{300}$ 的极小值点，其极小值也是最小值 $\displaystyle f_{\min }=f\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6^{100}} \cdot \frac{1}{3^{200}} \cdot \frac{1}{2^{300}}$. （2）先求 $\displaystyle F(x, y)=\frac{x^{n}+y^{n}}{2}$ 在条件 $x+y=a$ 下的最小值． 设 $\displaystyle L(x, y, \lambda)=\frac{x^{n}+y^{n}}{2}+\lambda(x+y-a)$ ．对 $L$ 求偏导数，并令它们都等于零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=\frac{n}{2} x^{n-1}+\lambda=0 \\ L_{y}=\frac{n}{2} y^{n-1}+\lambda=0 \\ L_{\lambda}=x+y-a=0 \end{array}\right. $$ 解之得 $\displaystyle x=y=\frac{a}{2}$ ． 由于当 $x \rightarrow \infty$ 或 $y \rightarrow \infty$ 时，$F$ 都趋于 $\infty$ ，故 $F$ 必在唯一稳定点 $\displaystyle \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$ 处有最小值，即 $$ F_{\text {最小值 }}=F\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)=\left(\frac{a}{2}\right)^{n} \text {. } $$ 所以 $\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geqslant\left(\frac{a}{2}\right)^{n}=\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$ ，即 $\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$ 成立。 （3）由于 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 在区域 $\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}<1\right\}$ 内没有稳定点，所以只需求 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 在约束条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1$ 下的最大值与最小值。 令 $L\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \lambda\right)=a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}-\lambda\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-1\right)$ 。求偏导数并令其为零，得 $$ L_{x_{k}}=a_{k}-2 \lambda x_{k}=0, k=1, \cdots, n $$ 解之得 $\displaystyle x_{k}=\frac{a_{k}}{2 \lambda}, k=1, \cdots, n$ 。代人约束条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1$ 得 $2 \lambda= \pm \sqrt{\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}}$ 。于是 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\frac{1}{ \pm \sqrt{\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}}} \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}= \pm \sqrt{\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}} $$ 从而 $f_{\text {max }}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}}, f_{\text {min }}=-\sqrt{\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}}$ 。