下册 7.5 多元函数微分的应用 第22题
📝 题目
22．证明下列结论．
（1）中心在原点的 $A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D x y+2 E y z+2 F x z=1$ 的椭球面的长半轴 $l$ 是下列行列
式的最大实根 $\left|\begin{array}{cccc}A-l^{-2} & D & F \\ D & B-l^{-2} & E \\ F & E & C-l^{-2}\end{array}\right|$
（2）设 $\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实对称方阵，定义 $\mathbf{R}^{n}$ 上的齐二次函数 $h(x)=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ ．证明：函数 $h(x)$ 在条件 $\sum_{1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 下的最小值是 $A$ 的最小特征值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $L(x, y, z, \lambda)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda^{-2}\left(A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D x y+2 E y z+2 F x z-1\right)$ 。求偏导数并令其为零，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=2 x-\lambda^{-2}(2 A x+2 D y+2 F z)=0 \\
L_{y}=2 y-\lambda^{-2}(2 B y+2 D x+2 E z)=0 \\
L_{z}=2 z-\lambda^{-2}(2 C z+2 E y+2 F x)=0 \\
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D x y+2 E y z+2 F x z-1=0
\end{array}\right.
$$
由于方程组有非零解，所以系数行列式 $\left|\begin{array}{ccc}A-\lambda^{-2} & D & F \\ D & B-\lambda^{-2} & E \\ F & E & C-\lambda^{-2}\end{array}\right|=0$ ，即 $\lambda^{-2}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}A & D & F \\ D & B & E \\ F & E & C\end{array}\right)$的特征值．由于 $A$ 是实对称阵，所以特征值都是实数．
由方程组得 $\lambda^{-2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，即目标函数的最大值和最小值包含在上面的方程组关于 $\lambda$ 的解中．所以中心在原点的 $A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D x y+2 E y z+2 F x z=1$ 的椭球面的长半轴 $l$ 是行列式的最大实根。
（2）令 $L\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \lambda\right)=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}-\lambda\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-1\right)$ 。求偏导数并令其为零，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x_{i}}=2\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i k} x_{i}-\lambda x_{k}\right)=0, \quad k=1, \cdots, n \\
L_{\lambda}=-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-1\right)=0
\end{array}\right.
$$
由 $\displaystyle \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} x_{k} L_{x_{i}}=\sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} x_{i} x_{k}-\lambda \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=0$ 知，$\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}=\lambda$ ，即目标函数的最大值和最小值包含在上面的方程组关于 $\lambda$ 的解中．
记 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ ，由于方程组 $\sum_{i=1}^{n} a_{i k} x_{i}-\lambda x_{k}=0,(k=1, \cdots, n)$ 有非零解，所以系数行列式 $|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}|=0$ ，即 $\lambda$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 的特征值。由于 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是实对称阵，所以特征值都是实数，将它们按照大小排序为 $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{n}$ ，所以 $f_{\text {max }}=\lambda_{n}, f_{\text {min }}=\lambda_{1}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：建立拉格朗日函数
问题（1）要求椭球面的长半轴，即求在椭球面约束下距离原点最远的点的距离。设目标函数为 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，约束条件为 $g(x,y,z)=Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Eyz+2Fxz-1=0$。构造拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2-\lambda^{-2}(Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Eyz+2Fxz-1)$，其中 $\lambda^{-2}$ 是拉格朗日乘子。
公式：L = x^2+y^2+z^2 - \lambda^{-2}(Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Eyz+2Fxz-1)
提示：注意拉格朗日乘子设为 $\lambda^{-2}$ 是为了后续与特征值对应。
步骤 2/9
目标：求偏导数并令为零
对 $L$ 分别关于 $x,y,z$ 求偏导并令为零：
$$
\begin{cases}
L_x = 2x - \lambda^{-2}(2Ax+2Dy+2Fz)=0 \\
L_y = 2y - \lambda^{-2}(2By+2Dx+2Ez)=0 \\
L_z = 2z - \lambda^{-2}(2Cz+2Ey+2Fx)=0
\end{cases}
$$
化简得：
$$
\begin{cases}
(A-\lambda^{-2})x + Dy + Fz = 0 \\
Dx + (B-\lambda^{-2})y + Ez = 0 \\
Fx + Ey + (C-\lambda^{-2})z = 0
\end{cases}
$$
公式：\frac{\partial L}{\partial x}=0 \Rightarrow (A-\lambda^{-2})x+Dy+Fz=0
提示：注意系数矩阵的对称性，不要漏掉交叉项系数。
步骤 3/9
目标：得到特征方程
上述齐次线性方程组有非零解（因为 $(x,y,z)$ 是椭球面上的点，不全为零），故系数行列式为零：
$$
\begin{vmatrix}
A-\lambda^{-2} & D & F \\
D & B-\lambda^{-2} & E \\
F & E & C-\lambda^{-2}
\end{vmatrix}=0
$$
这表明 $\lambda^{-2}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}A&D&F\\D&B&E\\F&E&C\end{pmatrix}$ 的特征值。由于 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，特征值均为实数。
公式：\det(\boldsymbol{A}-\lambda^{-2}\boldsymbol{I})=0
提示：行列式展开时注意符号，实对称矩阵的特征值都是实数。
步骤 4/9
目标：联系目标函数与特征值
将原方程组中的第一个方程乘以 $x$，第二个乘以 $y$，第三个乘以 $z$，然后相加：
$$
x[(A-\lambda^{-2})x+Dy+Fz] + y[Dx+(B-\lambda^{-2})y+Ez] + z[Fx+Ey+(C-\lambda^{-2})z]=0
$$
展开得：
$$
(Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Eyz+2Fxz) - \lambda^{-2}(x^2+y^2+z^2)=0
$$
由约束条件 $Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Eyz+2Fxz=1$，代入得 $1 - \lambda^{-2}(x^2+y^2+z^2)=0$，即 $\lambda^2 = x^2+y^2+z^2$。因此 $\lambda$ 就是原点到该点的距离。
公式：\lambda^2 = x^2+y^2+z^2
提示：注意 $\lambda$ 是距离，而 $\lambda^{-2}$ 是特征值，不要混淆。
步骤 5/9
目标：得出长半轴结论
椭球面的长半轴是原点到椭球面的最大距离，即 $\lambda$ 的最大值。由 $\lambda^2 = x^2+y^2+z^2$ 且 $\lambda^{-2}$ 是特征值，可知 $\lambda$ 的平方是特征值的倒数。因此长半轴 $l$ 是行列式 $\begin{vmatrix}A-l^{-2}&D&F\\D&B-l^{-2}&E\\F&E&C-l^{-2}\end{vmatrix}=0$ 的最大实根（即最大特征值的倒数开方）。
公式：l = \max\{\lambda: \det(\boldsymbol{A}-\lambda^{-2}\boldsymbol{I})=0\}
提示：注意长半轴对应最大特征值，因为 $\lambda^{-2}$ 越小则 $\lambda$ 越大。
步骤 6/9
目标：建立问题（2）的拉格朗日函数
问题（2）要求二次型 $h(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ 在单位球面 $\sum_{i=1}^n x_i^2=1$ 上的最小值。构造拉格朗日函数 $L(x_1,\dots,x_n,\lambda)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j - \lambda(\sum_{i=1}^n x_i^2-1)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。
公式：L = \sum_{i,j} a_{ij}x_ix_j - \lambda(\sum_i x_i^2-1)
提示：这里乘子设为 $-\lambda$ 是常见形式，注意符号。
步骤 7/9
目标：求偏导并得到特征方程
对 $L$ 关于每个 $x_k$ 求偏导并令为零：
$$
\frac{\partial L}{\partial x_k} = 2\sum_{i=1}^n a_{ik}x_i - 2\lambda x_k = 0, \quad k=1,\dots,n
$$
化简得 $\sum_{i=1}^n a_{ik}x_i = \lambda x_k$，即 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，其中 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$。由于 $oldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$（单位球面上），故 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值。
公式：\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}
提示：注意 $a_{ik}$ 的下标顺序，实对称矩阵保证特征值实数。
步骤 8/9
目标：联系目标函数与特征值
将方程 $\sum_i a_{ik}x_i = \lambda x_k$ 两边乘以 $x_k$ 并对 $k$ 求和：
$$
\sum_{k=1}^n x_k \sum_{i=1}^n a_{ik}x_i = \lambda \sum_{k=1}^n x_k^2
$$
左边即为 $\sum_{i,k} a_{ik}x_i x_k = h(x)$，右边 $\lambda \sum_k x_k^2 = \lambda$（因为 $\sum x_k^2=1$）。因此 $h(x)=\lambda$，即目标函数值等于对应的特征值。
公式：h(x)=\lambda
提示：注意求和顺序，二次型与特征值直接关联。
步骤 9/9
目标：得出最小值结论
由于 $h(x)$ 在单位球面上的值等于特征值，而特征值都是实数，且 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，可正交对角化。因此 $h(x)$ 的取值范围是所有特征值之间的值，最小值为最小特征值。设特征值排序为 $\lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n$，则 $h_{\min} = \lambda_1$。
公式：\min_{\|\boldsymbol{x}\|=1} h(\boldsymbol{x}) = \lambda_{\min}(\boldsymbol{A})
提示：注意最小值对应最小特征值，最大值对应最大特征值。
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