下册 7.5 多元函数微分的应用 第23题

\section*{解题过程：} （1）设 $(x, y, z)$ 为平面上的任意一点，则目标函数为 $\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}$ ．此时，问题转化为求函数 $f(x, y, z)=\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}$ 在约束条件 $A x+B y+C z+D=0$ 下的最小值问题． 记 $L(x, y, z, \mu)=\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}+\mu(A x+B y+C z+D)$ ．对 $L$ 分别求偏导数，并令其为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=2\left(x-x_{0}\right)+\mu A=0 \\ L_{y}=2\left(y-y_{0}\right)+\mu B=0 \\ L_{z}=2\left(z-z_{0}\right)+\mu C=0 \\ L_{\mu}=A x+B y+C z+D=0 \end{array}\right. $$ 解之得 $\displaystyle \mu=\frac{2\left(A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}\right)}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}, x_{1}=x_{0}-\frac{A}{2} \mu, y_{1}=y_{0}-\frac{B}{2} \mu, z_{1}=z_{0}-\frac{C}{2} \mu$ 。所以点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的最短距离为 $$ d=\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{0}\right)^{2}}=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} . $$ （2）设所求的点为 $(x, y)$ ，它与平面上 $n$ 个点 $A_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, A_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ 距离的平方和为 $$ f(x, y)=\sum_{i=1}^{n}\left[\left(x-x_{i}\right)^{2}+\left(y-y_{i}\right)^{2}\right] . $$ 由 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}=2 \sum_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)=2 n x-2 \sum_{i=1}^{n} x_{i}=0 \\ f_{y}=2 \sum_{i=1}^{n}\left(y-y_{i}\right)=2 n y-2 \sum_{i=1}^{n} y_{i}=0\end{array}\right.$ 得 $\displaystyle x=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}, y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}$ ． 因 $A=f_{x x}=2 n>0, B=f_{x y}=0, C=f_{y y}=2 n, A C-B^{2}=4 n^{2}>0$ ，所以 $\displaystyle \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}, \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)=(\bar{x}, \bar{y})$为所求点． （3）设 $L(x, y, z, \lambda)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(x y-z-1)$ ．对 $L$ 求偏导数，并令其为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x+\lambda y=0 \\ 2 y+\lambda x=0 \\ 2 z-\lambda=0 \\ x y-z-1=0 \end{array}\right. $$ 当 $\lambda=0$ 时，显然不满足上述方程组； 当 $x y=0$ 时，$z=-1, \lambda=-2, x=y=0$ ； 当 $x y \neq 0$ ，此时则有 $\lambda=2$ 或 $\lambda=-2$ ，经检验，都不符合， 因此到原点最近的点的坐标是 $(0,0,-1)$ ． （4）设 $(x, y, z)$ 为曲面上任意一点，则目标函数为 $\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-c)^{2}}$ ．此时，问题转化为求函数 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+(z-c)^{2}$ 在约束条件 $\displaystyle \frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 下的最小值问题． 设 $\displaystyle L(x, y, z, \lambda)=x^{2}+y^{2}+(z-c)^{2}+\lambda\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z}{c}\right)$ ．对 $L$ 求偏导数，并令其为零，有 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=2 x+2 \lambda \frac{x}{a^{2}}=0 \\ L_{y}=2 y+2 \lambda \frac{y}{b^{2}}=0 \\ L_{z}=2(z-c)-\frac{\lambda}{c}=0 \\ L_{\lambda}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z}{c}=0 \end{array}\right. $$ 解之得 $x=0, y=0, z=0$ ．故点 $(0,0, c)$ 到曲面 $\displaystyle \frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 的最短距离为 $c$ ．