下册 7.5 多元函数微分的应用 第24题

\section*{解题过程：} （1）椭圆上的点 $P(x, y, z)$ 到原点的距离为 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．因点 $P$ 既在抛物面上又在平面上，所以问题转化为求在约束条件 $x^{2}+y^{2}-z=0, x+y+z-1=0$ 下，目标函数 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$的最大值与最小值． 令 $L(x, y, z, \lambda, \mu)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda\left(x^{2}+y^{2}-z\right)-\mu(x+y+z-1)$ ，求偏导数并令其为零，得 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x-2 \lambda x-\mu=0 \\ 2 y-2 \lambda y-\mu=0 \\ 2 z+\lambda-\mu=0 \\ -\left(x^{2}+y^{2}-z\right)=0 \\ -(x+y+z-1)=0 \end{array}\right. $$ 由前两式得 $(\lambda-1)(x-y)=0$ ． 若 $\lambda=1$ ，则有 $\displaystyle \mu=0, z=-\frac{1}{2}$ ，显然不满足约束条件； 若 $\lambda \neq 1$ ，则有 $x=y$ ．再联立约束条件 $z=x^{2}+y^{2}$ 与 $x+y+z=1$ ，可解出点 $\displaystyle x=y=\frac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{3})$ ， $z=2 x^{2}=2 \mp \sqrt{3}$ ，从而有 $d^{2}=9 \mp 5 \sqrt{3}$ ． 由于满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值．于是 $d_{\text {max }}=\sqrt{9+5 \sqrt{3}}, d_{\text {min }}=\sqrt{9-5 \sqrt{3}}$. （2）椭圆的中心在原点，原点到椭圆周上点 $(x, y, z)$ 的距离 $d$ 的最大值和最小值分别为椭圆的长半轴和短半轴． 令 $L(x, y, z, \lambda, \mu)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda\left(x^{2}+y^{2}+4 z^{2}-1\right)-\mu(x+y+z)$ ，求偏导数并令其为零，得 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x-2 \lambda x-\mu=0 \\ 2 y-2 \lambda y-\mu=0 \\ 2 z-8 z \lambda-\mu=0 \\ -\left(x^{2}+y^{2}+4 z^{2}-1\right)=0 \\ -(x+y+z)=0 \end{array}\right. $$ 若 $\lambda=1$ ，则有 $\mu=0, z=0$ ，显然不满足约束条件； 若 $\lambda \neq 1$ ，则 $x=y$ ，再联立约束条件，可解出 $\displaystyle x=y= \pm \frac{\sqrt{3}}{6} z=\mp \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，从而有 $\displaystyle d^{2}=\frac{1}{3}$ ．所求的椭圆的面积为 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （3）为使椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 既包含圆周 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ ，又使其面积最小，可要求圆心 $(1,0)$ 至椭圆圆周上的点的最小距离为 1 ．为此，将问题转化为函数 $f(x, y)=(x-1)^{2}+y^{2}$ 在条件 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 下的极小值问题． 作函数 $\displaystyle L(x, y, \lambda)=(x-1)^{2}+y^{2}+\lambda\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1\right)$ ．求偏导数并令其为零，得 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=2(x-1)+2 \lambda \frac{x}{a^{2}}=0 \\ L_{y}=2 y+2 \lambda \frac{y}{b^{2}}=0 \\ L_{\lambda}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1=0 \end{array}\right. $$ 若 $y=0$ ，则 $x=a$ ．由 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ 得 $a=2$ ． 在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 与 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ 中消去 $y$ 得 $\displaystyle \left(1-\frac{b^{2}}{4}\right) x^{2}-2 x+b^{2}=0$ 。当 $b<\sqrt{2}$ 时，方程除 $x=2$ 外，还有一个解属于 $(0,2)$ ，说明椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 不完全包含圆周 $(x-1)^{2}+y^{2}=1, y=0$ 这种情况不可能．于是 $\lambda=b^{2}$ ． 在 $\lambda=b^{2}$ 时，$\displaystyle x=\frac{a^{2}}{b^{2}-a^{2}}$ ，代入 $\displaystyle \lambda\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)=1$ 得 $\left(b^{2}-a^{2}\right) b^{2}=a^{2}$ ． 下面求函数 $g(a, b)=\pi a b$ 在 $\left(b^{2}-a^{2}\right) b^{2}=a^{2}$ 下的极小值． 通过 $L(a, b, \mu)=\pi a b+\mu\left(b^{4}-a^{2} b^{2}-a^{2}\right)$ 可解得 $\displaystyle a=\frac{3}{2} \sqrt{2}, b=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．