下册 7.5 多元函数微分的应用 第25题
📝 题目
25．求解下列各题．
（1）设 $a>0$ ，求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2 a z \\ x^{2}+y^{2}+x y=a^{2}\end{array}\right.$ 上的点到 $x O y$ 平面的最大和最小距离．
（2）已知曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5,\end{array}\right.$ 求曲线 $C$ 距离 $x O y$ 面最远的点和最近的点．
（3）求球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 与平面 $x+y+z=4$ 的交线的最高点和最低点的坐标．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $M(x, y, z)$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2 a z \\ x^{2}+y^{2}+x y=a^{2}\end{array}\right.$ 上一点，则 $M$ 到 $x O y$ 平面的距离为 $d(x, y, z)=|z|$ ．问题为求函数 $f(x, y, z)=|z|^{2}=z^{2}$ 在约束条件 $x^{2}+y^{2}=2 a z$ 和 $x^{2}+y^{2}+x y=a^{2}$ 下的最值．
作函数 $L(x, y, z, \lambda, \mu)=z^{2}+\lambda\left(x^{2}+y^{2}-2 a z\right)+\mu\left(x^{2}+y^{2}+x y-a^{2}\right)$ 。求偏导数并令其为零，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
2(\mu+\lambda) x+\mu y=0 \\
2(\mu+\lambda) y+\mu x=0 \\
2 z-2 a \lambda=0 \\
x^{2}+y^{2}-2 a z=0 \\
x^{2}+y^{2}+x y-a^{2}=0
\end{array}\right.
$$
解之得 $\displaystyle (x, y, z)=(a,-a, a),(x, y, z)=\left(\frac{\sqrt{3}}{3} a, \frac{\sqrt{3}}{3} a, \frac{1}{3} a\right)$ ．
根据实际意义，所求最值一定存在，代人计算可得最大距离为 $a$ ，最小距离为 $\displaystyle \frac{a}{3}$ ．
（2）设 $M(x, y, z)$ 为曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0 \\ x+y+3 z=5\end{array}\right.$ 上一点，则 $M$ 到 $x O y$ 平面的距离为 $d(x, y, z)=|z|$ ．
问题转化为求函数 $f(x, y, z)=|z|^{2}=z^{2}$ 在约束条件 $x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0$ 和 $x+y+3 z=5$ 下的最值点．
作 $F(x, y, z, \lambda, \mu)=z^{2}+\lambda(x+y+3 z-5)+\mu\left(x^{2}+y^{2}-2 z^{2}\right)$ 。求偏导数并令其为零，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
F_{x}=\lambda+2 \mu x=0 \\
F_{y}=\lambda+2 \mu y=0 \\
F_{z}=2 z+3 \lambda-4 z \mu=0 \\
F_{\lambda}=x+y+3 z-5=0 \\
F_{\mu}=x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0
\end{array}\right.
$$
解方程组得 $x=y=5, z= \pm 5 ; x=y=-1, z= \pm 1$ ．
根据实际意义，曲线 $C$ 距离 $x O y$ 面最远的点和最近的点分别为 $(5,5, \pm 5),(1,1, \pm 1)$ ．
（3）设 $M(x, y, z)$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 与平面 $x+y+z=4$ 的交线上的一点，则 $M$ 到 $x O y$ 平面的距离为 $d(x, y, z)=|z|$ ．问题转化为求函数 $f(x, y, z)=|z|^{2}=z^{2}$ 在约束条件 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 和 $x+y+z=4$ 下的最值．
作 $F(x, y, z, \lambda, \mu)=z^{2}+\lambda(x+y+z-4)+\mu\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-16\right)$ 。求偏导数并令其为零得
$$
\left\{\begin{array}{l}
F_{x}=\lambda+2 \mu x=0 \\
F_{y}=\lambda+2 \mu y=0 \\
F_{z}=2 z+\lambda+2 z \mu=0 \\
F_{\lambda}=x+y+z-4=0 \\
F_{\mu}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-16=0
\end{array}\right.
$$
解方程组得 $\displaystyle x=y=\frac{8}{3}, z=-\frac{4}{3} ; x=y=0, z=4$ ．
根据实际意义，所求最值一定存在，于是交线的最高点和最低点的坐标分别为 $\displaystyle (0,0,4),\left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3},-\frac{4}{3}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：建立距离函数和拉格朗日函数
设曲线上的点为 $M(x,y,z)$，到 $xOy$ 平面的距离为 $|z|$。为方便求最值，考虑 $f(x,y,z)=z^2$。约束条件为 $x^2+y^2=2az$ 和 $x^2+y^2+xy=a^2$。构造拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda,\mu)=z^2+\lambda(x^2+y^2-2az)+\mu(x^2+y^2+xy-a^2)$。
公式：L(x,y,z,\lambda,\mu)=z^2+\lambda(x^2+y^2-2az)+\mu(x^2+y^2+xy-a^2)
提示：注意距离函数用平方形式避免绝对值，且约束条件要正确列出。
步骤 2/9
目标：求偏导数并令为零
计算 $L$ 对各变量的偏导数并令其为零：
$$
\begin{cases}
L_x = 2(\lambda+\mu)x + \mu y = 0 \\
L_y = 2(\lambda+\mu)y + \mu x = 0 \\
L_z = 2z - 2a\lambda = 0 \\
L_\lambda = x^2+y^2-2az = 0 \\
L_\mu = x^2+y^2+xy-a^2 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意偏导数的计算要准确，特别是 $L_x$ 和 $L_y$ 中 $\mu$ 的系数。
步骤 3/9
目标：解方程组得到候选点
由 $L_z=0$ 得 $z = a\lambda$。由 $L_x$ 和 $L_y$ 可解出 $x$ 与 $y$ 的关系。将 $L_x$ 和 $L_y$ 视为关于 $x,y$ 的齐次线性方程组，有非零解的条件是系数行列式为零，即 $4(\lambda+\mu)^2 - \mu^2 = 0$，解得 $\mu = -2\lambda$ 或 $\mu = -\frac{2}{3}\lambda$。分别代入并利用约束条件，得到两组解：$(x,y,z)=(a,-a,a)$ 和 $(x,y,z)=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}a,\frac{\sqrt{3}}{3}a,\frac{1}{3}a\right)$。
提示：注意齐次方程组有非零解的条件，以及分类讨论 $\mu$ 与 $\lambda$ 的关系。
步骤 4/9
目标：计算距离并确定最值
计算各候选点到 $xOy$ 平面的距离 $d=|z|$：
- 对于 $(a,-a,a)$，$d=|a|=a$；
- 对于 $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}a,\frac{\sqrt{3}}{3}a,\frac{1}{3}a\right)$，$d=\left|\frac{1}{3}a\right|=\frac{a}{3}$。
由于 $a>0$，最大距离为 $a$，最小距离为 $\frac{a}{3}$。
提示：注意距离是绝对值，但 $a>0$ 所以直接取正。
步骤 5/9
目标：建立第二题的拉格朗日函数
设曲线 $C$ 上的点为 $M(x,y,z)$，到 $xOy$ 平面的距离为 $|z|$，考虑 $f(x,y,z)=z^2$。约束条件为 $x^2+y^2-2z^2=0$ 和 $x+y+3z=5$。构造拉格朗日函数 $F(x,y,z,\lambda,\mu)=z^2+\lambda(x+y+3z-5)+\mu(x^2+y^2-2z^2)$。
公式：F(x,y,z,\lambda,\mu)=z^2+\lambda(x+y+3z-5)+\mu(x^2+y^2-2z^2)
提示：注意约束条件的形式，第二个约束是线性方程。
步骤 6/9
目标：求偏导并解方程组
求偏导并令为零：
$$
\begin{cases}
F_x = \lambda + 2\mu x = 0 \\
F_y = \lambda + 2\mu y = 0 \\
F_z = 2z + 3\lambda - 4z\mu = 0 \\
F_\lambda = x+y+3z-5 = 0 \\
F_\mu = x^2+y^2-2z^2 = 0
\end{cases}
$$
由前两式得 $x=y$ 且 $\lambda = -2\mu x$。代入第三式得 $2z -6\mu x -4z\mu = 0$，即 $2z(1-2\mu)=6\mu x$。由 $x=y$ 代入第四、五式得 $2x+3z=5$ 和 $2x^2-2z^2=0$，即 $x^2=z^2$。解得 $x=y=5, z=\pm5$ 或 $x=y=-1, z=\pm1$。
提示：注意 $x^2=z^2$ 意味着 $x=\pm z$，要分情况讨论，但最终由线性方程确定。
步骤 7/9
目标：确定最远和最近点
计算各候选点的 $|z|$：$(5,5,5)$ 和 $(5,5,-5)$ 的 $|z|=5$；$(-1,-1,1)$ 和 $(-1,-1,-1)$ 的 $|z|=1$。因此最远的点为 $(5,5,\pm5)$，最近的点为 $(1,1,\pm1)$（注意 $(-1,-1,\pm1)$ 的 $|z|=1$，但题目要求点坐标，应为 $(1,1,\pm1)$？实际上解为 $x=y=-1$，但距离相同，通常取正坐标表示，但严格按解应为 $(-1,-1,\pm1)$。答案中写的是 $(1,1,\pm1)$，可能笔误。此处按解给出：最远点 $(5,5,\pm5)$，最近点 $(-1,-1,\pm1)$。
提示：注意检查解是否满足所有方程，以及距离大小比较。
步骤 8/9
目标：建立第三题的拉格朗日函数并求解
设交线上点为 $M(x,y,z)$，考虑 $f(x,y,z)=z^2$，约束为 $x^2+y^2+z^2=16$ 和 $x+y+z=4$。构造 $F(x,y,z,\lambda,\mu)=z^2+\lambda(x+y+z-4)+\mu(x^2+y^2+z^2-16)$。求偏导：
$$
\begin{cases}
F_x = \lambda + 2\mu x = 0 \\
F_y = \lambda + 2\mu y = 0 \\
F_z = 2z + \lambda + 2z\mu = 0 \\
F_\lambda = x+y+z-4 = 0 \\
F_\mu = x^2+y^2+z^2-16 = 0
\end{cases}
$$
由前两式得 $x=y$ 且 $\lambda = -2\mu x$。代入第三式得 $2z -2\mu x + 2z\mu = 0$，即 $2z(1+\mu)=2\mu x$。由 $x=y$ 代入第四、五式得 $2x+z=4$ 和 $2x^2+z^2=16$。解得 $x=y=0, z=4$ 或 $x=y=\frac{8}{3}, z=-\frac{4}{3}$。
提示：注意 $F_z$ 中 $\lambda$ 的系数是1，不要漏掉。
步骤 9/9
目标：确定最高点和最低点
计算 $|z|$：$(0,0,4)$ 的 $|z|=4$；$(\frac{8}{3},\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$ 的 $|z|=\frac{4}{3}$。因此最高点（$z$ 最大）为 $(0,0,4)$，最低点（$z$ 最小）为 $(\frac{8}{3},\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$。
提示：注意最高点对应 $z$ 最大值，最低点对应 $z$ 最小值，不要混淆。
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