下册 7.5 多元函数微分的应用 第26题
📝 题目
26．求解下列各题．
（1）求抛物线 $y=x^{2}$ 和直线 $x-y-2=0$ 之间的最短距离．
（2）求直线 $4 x+3 y=16$ 与椭圆 $18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．
（3）求平面 $x+y+z=2$ 与曲面 $x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}=1(x, y, z>0)$ 之间的最短距离．
（4）求抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $x+y+z=1$ 交线上的点到原点的最大距离与最小距离．
💡 答案解析
解题过程：
（1）抛物线 $y=x^{2}$ 上任意一点 $(x, y)$ 到直线 $x-y-2=0$ 的距离为 $\displaystyle r=\frac{|x-y-2|}{\sqrt{2}}$ ．该问题可转化为求 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{2}(x-y-2)^{2}$ 在条件 $y=x^{2}$ 下的最小值．
构造拉格朗日 乘法函数 $\displaystyle L=\frac{1}{2}(x-y-2)^{2}+\lambda\left(y-x^{2}\right)$ 。令其所有一阶偏导数等于零，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-y-2-2 \lambda x=0 \\
-(x-y-2)+\lambda=0 \\
y-x^{2}=0
\end{array}\right.
$$
解之得 $\displaystyle x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{4}$ ．
根据实际意义，所求最小值一定存在，因此点 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ 为最小值点，最小值为 $\displaystyle \frac{7}{8} \sqrt{2}$ ．
（2）椭圆上任意一点 $(x, y)$ 到直线 $4 x+3 y=16$ 的距离为 $\displaystyle r=\frac{|4 x+3 y-16|}{5}$ ．问题可转化为求 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{25}(4 x+3 y-16)^{2}$ 在条件 $18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 下的最小值．
构造拉格朗日乘法函数 $L=(4 x+3 y-16)^{2}+\lambda\left(18 x^{2}+5 y^{2}-45\right)$ 。令其所有一阶偏导数等于零得
$$
\left\{\begin{array}{l}
8(4 x+3 y-16)+36 \lambda x=0, \\
6(4 x+3 y-16)+10 \lambda y=0, \\
18 x^{2}+5 y^{2}-45=0 .
\end{array}\right.
$$
解之得 $\displaystyle x=\frac{10}{11}, y=\frac{27}{11}$ 或 $\displaystyle x=-\frac{10}{11}, y=-\frac{27}{11}$ ．
根据实际意义，所求最小值一定存在，代人计算可得最小值点为 $\displaystyle \left(\frac{10}{11}, \frac{27}{11}\right)$ ．故所求的最小值为 1 ．
（3）设 $(x, y, z)$ 为 $x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}=1$ 上的一动点，它到平面 $x+y+z=2$ 的距离为 $\displaystyle d(x, y, z)= \frac{|x+y+z-2|}{\sqrt{3}}$ ．
设 $\displaystyle L(x, y, z, \lambda)=d^{2}(x, y, z)+\lambda\left(x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}-1\right)=\frac{1}{3}(x+y+z-2)^{2}+\lambda\left(x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}-1\right)$ 。令其所有一阶偏导数等于零，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{2}{3}(x+y+z-2)+2 x \lambda=0, \\
\frac{2}{3}(x+y+z-2)-4 y \lambda=0, \\
\frac{2}{3}(x+y+z-2)+4 z \lambda=0, \\
x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}-1=0 .
\end{array}\right.
$$
解之得 $\displaystyle (x, y, z)=\left(1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 或者 $\displaystyle \left(-1, \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ．
于是 $\displaystyle d\left(1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}, d\left(-1, \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)=3$ ．比较易得 $\displaystyle d_{\text {max }}=3, d_{\text {min }}=\frac{1}{3}$ ，故最远点为 $\displaystyle \left(-1, \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ，最近点为 $\displaystyle \left(1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ．
（4）设 $M(x, y, z)$ 为曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $x+y+z=1$ 的交线上的一点，则 $M$ 到原点的距离的平方为 $d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ．问题归为求函数 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在约束条件 $z=x^{2}+y^{2}$ 和 $x+y+z=1$ 下的最值．
作 $F(x, y, z, \lambda, \mu)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(x+y+z-1)+\mu\left(x^{2}+y^{2}-z\right)$ 。求偏导数并令其为零，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
F_{x}=2 x+\lambda+2 \mu x=0, \\
F_{y}=2 y+\lambda+2 \mu y=0, \\
F_{z}=2 z+\lambda-\mu=0, \\
F_{\lambda}=x^{2}+y^{2}-z=0, \\
F_{\mu}=x+y+z-1=0 .
\end{array}\right.
$$
解方程组可得 $\displaystyle x=-\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{3}), y=-\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{3}), z=2 \pm \sqrt{3}$ ．于是稳定点为 $\displaystyle \left(-\frac{1+\sqrt{3}}{2},-\frac{1+\sqrt{3}}{2}, 2+\sqrt{3}\right)$ ，
$\displaystyle \left(-\frac{1-\sqrt{3}}{2},-\frac{1-\sqrt{3}}{2}, 2-\sqrt{3}\right)$ ．
根据实际意义所求最值一定存在，于是交线上的点到原点的最大距离与最小距离分别为 $9+5 \sqrt{3}, 9-5 \sqrt{3}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：问题转化与距离公式
抛物线 $y=x^2$ 上任意一点 $(x, y)$ 到直线 $x-y-2=0$ 的距离为 $r = \frac{|x-y-2|}{\sqrt{2}}$。由于距离为正，最小化距离等价于最小化 $f(x,y) = \frac{1}{2}(x-y-2)^2$，约束条件为 $y = x^2$。
公式：点到直线距离公式：$d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
提示：注意距离公式中的绝对值，平方后去掉绝对值便于求导。
步骤 2/5
目标：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数 $L = \frac{1}{2}(x-y-2)^2 + \lambda(y - x^2)$。
公式：拉格朗日乘数法：$L = f(x,y) + \lambda g(x,y)$
提示：约束条件应写为 $g(x,y)=0$ 形式，这里 $g(x,y)=y-x^2$。
步骤 3/5
目标：求偏导数并令为零
计算 $L$ 对 $x, y, \lambda$ 的偏导数并令其为零：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = x - y - 2 - 2\lambda x = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = -(x-y-2) + \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = y - x^2 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意对 $y$ 求偏导时，$\frac{\partial}{\partial y}[\frac{1}{2}(x-y-2)^2] = -(x-y-2)$。
步骤 4/5
目标：解方程组
由第二个方程得 $\lambda = x-y-2$，代入第一个方程得 $x-y-2 - 2x(x-y-2)=0$，即 $(x-y-2)(1-2x)=0$。若 $x-y-2=0$，则与第三个方程 $y=x^2$ 联立得 $x^2 - x + 2 = 0$，无实根。故 $1-2x=0$，得 $x=\frac{1}{2}$，代入第三个方程得 $y=\frac{1}{4}$，进而 $\lambda = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}$。
提示：注意检查解是否满足约束条件，且需排除增根。
步骤 5/5
目标：计算最短距离
将 $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{4}$ 代入距离公式得 $d = \frac{|\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-\frac{7}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$。根据实际意义，该点为最小值点。
提示：最终答案需化简为最简形式。
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