下册 7.5 多元函数微分的应用 第27题

\section*{解题过程：} （1）交线上任意一点 $(x, y, z)$ 到原点的距离的平方为 $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ． 由于点 $(x, y, z)$ 在交线上，必然满足 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ ．从而有 $r^{2}=\left(x^{2}+2 y^{2}+z^{2}\right)-y^{2}=1-y^{2}$ ．于是问题转化为求 $r^{2}=1-y^{2}$ 在条件 $x+2 y=1$ 和 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 下的最小值． 作拉格朗日乘法函数 $L\left(x, y, z, \lambda_{1}, \lambda_{2}\right)=1-y^{2}+\lambda_{1}(x+2 y-1)+\lambda_{2}\left(x^{2}+2 y^{2}+z^{2}-1\right)$ 。令其所有一阶偏导数等于零得 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=\lambda_{1}+2 \lambda_{2} x=0 \\ L_{y}=-2 y+2 \lambda_{1}+4 \lambda_{2} y=0 \\ L_{z}=2 \lambda_{2} z=0 \\ L_{\lambda}=x+2 y-1=0 \\ L_{\mu}=x^{2}+2 y^{2}+z^{2}-1=0 \end{array}\right. $$ 解之得 $x=1, y=z=0$ 或 $\displaystyle x=-\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}, z=0$ ． 根据实际意义最小值一定存在，代人计算可得最小值为 $\displaystyle r_{\text {min }}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，相应的最小值点为 $\displaystyle \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ ，此即为所求与原点最近的点． （2）设 $(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{96}+y^{2}+z^{2}=1$ 上的动点，它到 $3 x+4 y+12 z=228$ 的距离之平方为 $$ d^{2}(x, y, z)=\frac{(3 x+4 y+12 z-228)^{2}}{3^{2}+4^{2}+12^{2}}=\frac{(3 x+4 y+12 z-228)^{2}}{13^{2}} $$ 设 $\displaystyle L(x, y, z, \lambda)=d^{2}(x, y, z)+\lambda\left(\frac{x^{2}}{96}+y^{2}+z^{2}-1\right)=\frac{1}{13^{2}}(3 x+4 y+12 z-228)^{2}+\lambda\left(\frac{x^{2}}{96}+y^{2}+z^{2}-1\right)$ ． 解其所有一阶偏导数等于零组成的方程组得 $\displaystyle (x, y, z)=\left(9, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}\right)$ 或者 $\displaystyle \left(-9,-\frac{1}{8},-\frac{3}{8}\right)$ ．于是 $\displaystyle d\left(9, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}\right)=13, d\left(-9,-\frac{1}{8},-\frac{3}{8}\right)=20$ 。比较得 $d_{\max }=20, d_{\min }=13$ 。故所求的最远点为 $\displaystyle \left(-9,-\frac{1}{8},-\frac{3}{8}\right)$ ，最近点为 $\displaystyle \left(9, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}\right)$ ．