下册 7.5 多元函数微分的应用 第28题

\section*{解题过程：} （1）椭球面上任一点的法向量为 $\displaystyle \left(\frac{x}{a^{2}}, \frac{y}{b^{2}}, \frac{z}{c^{2}}\right)$ ，因此过该点的切平面方程为 $$ \frac{x}{a^{2}}(X-x)+\frac{y}{b^{2}}(Y-y)+\frac{z}{c^{2}}(Z-z)=0 \text {, 即 } \frac{x}{a^{2}} X+\frac{y}{b^{2}} Y+\frac{z}{c^{2}} Z=1 \text {. } $$ 它与三个坐标轴的交点分别为 $\displaystyle \frac{a^{2}}{x}, \frac{b^{2}}{y}, \frac{c^{2}}{z}$ ．因此，切平面与坐标平面所围成的四面体的体积为 $\displaystyle V=\frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{6 x y z}$ ．问题化转为求函数 $\displaystyle V=\frac{1}{6} \cdot \frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{x y z}$ 在条件 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最小值的问题，或求函数 $f(x, y, z)=x y z$ 在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最大值的问题． 下面求函数 $f(x, y, z)=x y z$ 在条件 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最大值． 构造拉格朗日乘法函数 $\displaystyle L(x, y, z, \lambda)=x y z-\lambda\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1\right)$ 。令其所有一阶偏导数等于零，得 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=y z-\frac{2 \lambda x}{a^{2}}=0 \\ L_{y}=z x-\frac{2 \lambda y}{b^{2}}=0 \\ L_{z}=x y-\frac{2 \lambda z}{c^{2}}=0 \\ L_{\lambda}=-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1\right)=0 \end{array}\right. $$ 解方程组得 $\displaystyle x= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} a, y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} b, z= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} c$ ． 于是 $f(x, y, z)$ 的最大值为 $\displaystyle f_{\text {max }}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{3} a b c=\frac{\sqrt{3}}{9} a b c$ 。由此可得 $\displaystyle V_{\text {min }}=\frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{6 f_{\text {max }}}=\frac{\sqrt{3}}{2} a b c$ ． （2）切平面的法向量 $\displaystyle \vec{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{b}}, \frac{1}{\sqrt{c}}\right)$ ．曲面过点 $M(a, b, c)$ 的切平面方程为 $$ \frac{1}{\sqrt{a}}(x-a)+\frac{1}{\sqrt{b}}(y-b)+\frac{1}{\sqrt{c}}(z-c)=0 \text {, 即 } \frac{1}{\sqrt{a}} x+\frac{1}{\sqrt{b}} y+\frac{1}{\sqrt{c}} z=1 \text {. } $$ 切平面在 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴上的截距分别为 $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}$ ，所以 $u=\sqrt{a b c}$ 。 由于 $\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1, \sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c} \leqslant\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{3}\right)^{3}=\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}$ ，所以 $u$ 的最大值为 $\displaystyle \frac{1}{27}$ ． （3）设 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为曲面上一点，则曲面过点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的切平面方程为 $$ y_{0} z_{0}\left(x-x_{0}\right)+x_{0} z_{0}\left(y-y_{0}\right)+y_{0} x_{0}\left(z-z_{0}\right)=0 \text {, 即 } y_{0} z_{0} x+x_{0} z_{0} y+y_{0} x_{0} z=a^{3} \text { 。 } $$ 切平面在 $x, y, z$ 上的截距分别为 $\displaystyle \frac{a^{3}}{y_{0} z_{0}}, \frac{a^{3}}{x_{0} z_{0}}, \frac{a^{3}}{y_{0} x_{0}}$ ．于是所求的四面体体积 $$ V=\frac{1}{6} \frac{a^{3}}{y_{0} \tilde{z}_{0}} \frac{a^{3}}{x_{0} z_{0}} \frac{a^{3}}{y_{0} x_{0}}=\frac{1}{6} a^{3} $$ （4）设 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为曲面上一点，记 $F(x, y, z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{a}$ ，则曲面在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的法向量为 $\displaystyle \left(\frac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}, \frac{1}{2 \sqrt{y_{0}}}, \frac{1}{2 \sqrt{z_{0}}}\right)$ ，过点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的切平面方程为 $$ \frac{1}{\sqrt{x_{0}}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{\sqrt{y_{0}}}\left(y-y_{0}\right)+\frac{1}{\sqrt{z_{0}}}\left(z-z_{0}\right)=0 \text {, 即 } \frac{1}{\sqrt{x_{0}}} x+\frac{1}{\sqrt{y_{0}}} y+\frac{1}{\sqrt{z_{0}}} z=\sqrt{a} \text {. } $$ 切平面在 $x, y, z$ 上的截距分别为 $\sqrt{a x_{0}}, \sqrt{a y_{0}}, \sqrt{a z_{0}}$ ，所以截距之和为 $$ \sqrt{x_{0}} \sqrt{a}+\sqrt{y_{0}} \sqrt{a}+\sqrt{z_{0}} \sqrt{a}=(\sqrt{a})^{2}=a $$ （5）设（ $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ ）为曲 面 任 意一点，则曲面在点（ $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ ）的法向量为 $\displaystyle \left(\frac{n}{n+1} x_{0}^{-\frac{1}{n+1}}, \frac{n}{n+1} y_{0}^{-\frac{1}{n+1}}, \frac{n}{n+1} z_{0}^{-\frac{1}{n+1}}\right)$ ，过点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的切平面方程为 $$ x_{0}^{-\frac{1}{n+1}}\left(x-x_{0}\right)+y_{0}^{-\frac{1}{n+1}}\left(y-y_{0}\right)+z_{0}^{-\frac{1}{n+1}}\left(z-z_{0}\right)=0 \text {, 即 } x_{0}^{-\frac{1}{n+1}} x+y_{0}^{-\frac{1}{n+1}} y+z_{0}^{-\frac{1}{n+1}} z=a^{\frac{n}{n+1}} \text {. } $$ 切平面在 $x, y, z$ 上的截距分别为 $\displaystyle x_{0}^{\frac{1}{n+1}} a^{\frac{n}{n+1}}, y_{0}^{\frac{1}{n+1}} a^{\frac{n}{n+1}}, z_{0}^{\frac{1}{n+1}} a^{\frac{n}{n+1}}$ 。所以截距之和为 $$ \left(x_{0}^{\frac{1}{n+1}} a^{\frac{n}{n+1}}\right)^{n}+\left(y_{0}^{\frac{1}{n+1}} a^{\frac{n}{n+1}}\right)^{n}+\left(z_{0}^{\frac{1}{n+1}} a^{\frac{n}{n+1}}\right)^{n}=\left(x_{0}^{\frac{n}{n+1}}+y_{0}^{\frac{n}{n+1}}+z_{0}^{\frac{n}{n+1}}\right) a^{\frac{n n}{n+1}}=a^{\frac{n}{n+1}} a^{\frac{n n}{n+1}}=a^{n} $$ （6）设 $\displaystyle F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}-1$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=2 x, \frac{\partial F}{\partial y}=2 y, \frac{\partial F}{\partial z}=\frac{z}{2}$ ．故所求的切平面方程为 $$ 2 x(X-x)+2 y(Y-y)+\frac{z}{2}(Z-z)=0 $$ 其在三个坐标轴上的截距分别为 $\displaystyle X=\frac{4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}}{4 x}, Y=\frac{4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}}{4 y}, Z=\frac{4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}}{z}$ ．截距的平方和 $$ d=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=\left(4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{16 x^{2}}+\frac{1}{16 y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\right)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{16}{z^{2}} . $$ 问题转为求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{16}{z^{2}}$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1$ 下的最小值． 令 $\displaystyle L(x, y, z)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{16}{z^{2}}+\lambda\left(x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}-1\right)$ 。令其所有一阶偏导数等于零，得 $$ \left\{\begin{array}{l} L_{x}=-\frac{2}{x^{3}}+2 x \lambda=0 \\ L_{y}=-\frac{2}{y^{3}}+2 y \lambda=0 \\ L_{z}=-\frac{32}{z^{3}}+\frac{1}{2} z \lambda=0 \\ L_{\lambda}=x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}-1=0 \end{array}\right. $$ 解之得 $\displaystyle x=y=\frac{1}{2}, z=\sqrt{2}, \lambda=16$ ．于是所求的最小值为 $d_{\text {min }}=16$ ．