下册 7.5 多元函数微分的应用 第29题
📝 题目
29．在变力 $F=y z i+z x j+x y k$ 作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 第一象限的点 $M(\xi, \eta, \zeta)$ ，问 $(\xi, \eta, \zeta)$ 取何值时， $\boldsymbol{F}$ 所做的功 $W$ 最大，并求 $W$ 的最大值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $u=x y z$ ，则 $\operatorname{grad} u=\boldsymbol{F}$ ．所以 $\boldsymbol{F}$ 是有势场，
$$
W=\int_{O M} F \mathrm{~d} r=u(M)-u(O)=\xi \eta \zeta
$$
由于 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 时，
$$
1=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \geqslant 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{c^{2}}}=3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}}}(x y z)^{\frac{2}{3}}
$$
又 $\displaystyle x y z \leqslant 3^{\frac{3}{2}} a b c=\frac{1}{3 \sqrt{3}} a b c$ ，等号成立当且仅当 $\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ．所以 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)=\left(\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{b}{\sqrt{3}}, \frac{c}{\sqrt{3}}\right)$ 时，$W$达到最大值，且 $W$ 的最大值为 $\displaystyle \frac{1}{3 \sqrt{3}} a b c$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断力场是否为有势场
计算力 $\boldsymbol{F}=yz\boldsymbol{i}+zx\boldsymbol{j}+xy\boldsymbol{k}$ 的旋度：
$$\nabla\times\boldsymbol{F}=\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
yz & zx & xy
\end{vmatrix}=(x-x)\boldsymbol{i}+(y-y)\boldsymbol{j}+(z-z)\boldsymbol{k}=\boldsymbol{0}$$
因此 $\boldsymbol{F}$ 是无旋场，且定义域为整个空间，故为有势场。
公式：$$\nabla\times\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}$$
提示：注意旋度计算时各分量要正确，偏导顺序不要弄错。
步骤 2/6
目标：求势函数
设势函数 $u(x,y,z)$ 满足 $\nabla u = \boldsymbol{F}$，即
$$\frac{\partial u}{\partial x}=yz,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=zx,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=xy$$
对第一式积分得 $u=xyz+\varphi(y,z)$，代入第二式得 $xz+\frac{\partial\varphi}{\partial y}=zx$，故 $\frac{\partial\varphi}{\partial y}=0$，$\varphi$ 与 $y$ 无关。代入第三式得 $xy+\frac{\partial\varphi}{\partial z}=xy$，故 $\frac{\partial\varphi}{\partial z}=0$，$\varphi$ 为常数。取 $\varphi=0$，则 $u=xyz$。
公式：$$u=xyz$$
提示：积分时注意常数项可能是其他变量的函数。
步骤 3/6
目标：计算功的表达式
由于 $\boldsymbol{F}$ 为有势场，功与路径无关，只与起点终点有关。起点为原点 $O(0,0,0)$，终点为 $M(\xi,\eta,\zeta)$，则
$$W=\int_{OM}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=u(M)-u(O)=\xi\eta\zeta-0=\xi\eta\zeta$$
因此 $W=\xi\eta\zeta$。
公式：$$W=\xi\eta\zeta$$
提示：注意势函数差与路径无关，直接代入坐标即可。
步骤 4/6
目标：建立约束条件
点 $M(\xi,\eta,\zeta)$ 在椭球面第一象限，即 $\xi,\eta,\zeta>0$ 且满足
$$\frac{\xi^2}{a^2}+\frac{\eta^2}{b^2}+\frac{\zeta^2}{c^2}=1$$
问题转化为在约束条件下求 $W=\xi\eta\zeta$ 的最大值。
公式：$$\frac{\xi^2}{a^2}+\frac{\eta^2}{b^2}+\frac{\zeta^2}{c^2}=1$$
提示：注意第一象限意味着坐标为正。
步骤 5/6
目标：应用均值不等式求最大值
由均值不等式（算术-几何平均）：
$$1=\frac{\xi^2}{a^2}+\frac{\eta^2}{b^2}+\frac{\zeta^2}{c^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\xi^2}{a^2}\cdot\frac{\eta^2}{b^2}\cdot\frac{\zeta^2}{c^2}}=3\sqrt[3]{\frac{\xi^2\eta^2\zeta^2}{a^2b^2c^2}}$$
两边立方得
$$1\geq 27\frac{\xi^2\eta^2\zeta^2}{a^2b^2c^2}$$
即
$$\xi\eta\zeta\leq \frac{abc}{3\sqrt{3}}$$
等号成立当且仅当 $\frac{\xi^2}{a^2}=\frac{\eta^2}{b^2}=\frac{\zeta^2}{c^2}=\frac{1}{3}$，即 $\xi=\frac{a}{\sqrt{3}},\eta=\frac{b}{\sqrt{3}},\zeta=\frac{c}{\sqrt{3}}$。
公式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2z^2}{a^2b^2c^2}}$$
提示：注意均值不等式使用条件：各项非负，且等号成立条件为各项相等。
步骤 6/6
目标：得出最大值及取点
因此，当 $(\xi,\eta,\zeta)=\left(\frac{a}{\sqrt{3}},\frac{b}{\sqrt{3}},\frac{c}{\sqrt{3}}\right)$ 时，$W$ 取得最大值 $\frac{abc}{3\sqrt{3}}$。
公式：$$W_{\max}=\frac{abc}{3\sqrt{3}}$$
提示：注意结果中分母为 $3\sqrt{3}$，不要写错。
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