下册 7.5 多元函数微分的应用 第30题
📝 题目
30．求解下列各题．
（1）曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线方程和法平面方程。
（2）求曲线 $\Gamma: x=x(t)=t^{2}, y=y(t)=\mathrm{e}^{t}+2, z=z(t)=t+\cos t, t \in \mathbf{R}$ 在点 $(x(0), y(0), z(0))$ 处的切线方程与法平面线方程．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）在方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 两端求微分得
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y+2 z \mathrm{~d} z=0 \\
\mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+\mathrm{d} z=0
\end{array}\right.
$$
将点 $P_{0}(1,-2,1)$ 代人上式得 $\left\{\begin{array}{l}2 \mathrm{~d} x-4 \mathrm{~d} y+2 \mathrm{~d} z=0, \\ \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+\mathrm{d} z=0 .\end{array}\right.$ 于是切向量为 $\tau=(1,0,-1)$ ．所以曲线在点 $P_{0}(1,-2,1)$ 处的切线方程为 $\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$ ，法平面方程为 $(x-1)-(z-1)=0$ ．
（2）易得
$$
x(0)=0, y(0)=3, z(0)=1, x^{\prime}(t)=2 t, y^{\prime}(t)=\mathrm{e}^{\prime}, z^{\prime}(t)=1-\sin t, x^{\prime}(0)=0, y^{\prime}(0)=1, z^{\prime}(0)=1 .
$$
于是曲线在点 $(x(0), y(0), z(0))$ 处的切线方程为 $\displaystyle \frac{x-0}{0}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-1}{1}$ ，法平面方程为 $y-3=z-1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求曲线在给定点的切向量（第一问）
对方程组 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0 \end{cases}$ 两边求微分，得 $\begin{cases} 2x\,dx+2y\,dy+2z\,dz=0 \\ dx+dy+dz=0 \end{cases}$。代入点 $(1,-2,1)$，得到 $\begin{cases} 2dx-4dy+2dz=0 \\ dx+dy+dz=0 \end{cases}$。解此方程组，取 $dx=1$，则从第二式得 $dy+dz=-1$，从第一式得 $2-4dy+2dz=0$，即 $-4dy+2dz=-2$，联立解得 $dy=0, dz=-1$，故切向量为 $\tau=(1,0,-1)$。
提示：注意微分方程组中变量是微分，解切向量时需取一组非零解，通常令其中一个分量为1。
步骤 2/6
目标：写出切线方程（第一问）
曲线在点 $P_0(1,-2,1)$ 处的切线方向向量为 $\tau=(1,0,-1)$，因此切线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$。注意分母为0表示该方向分量为0，即 $y$ 恒等于 $-2$。
公式：切线方程：$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$
提示：当方向向量某个分量为0时，切线方程中对应分子等于0，即该坐标固定。
步骤 3/6
目标：写出法平面方程（第一问）
法平面的法向量即为切向量 $\tau=(1,0,-1)$，过点 $(1,-2,1)$，故法平面方程为 $1\cdot(x-1)+0\cdot(y+2)+(-1)\cdot(z-1)=0$，即 $x-1-(z-1)=0$，化简得 $x-z=0$。
公式：法平面方程：$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
提示：法平面方程中系数对应切向量的分量，注意符号。
步骤 4/6
目标：计算参数方程在给定点的坐标和导数（第二问）
给定曲线 $\Gamma: x=t^2, y=e^t+2, z=t+\cos t$。当 $t=0$ 时，$x(0)=0, y(0)=e^0+2=3, z(0)=0+\cos0=1$。求导得 $x'(t)=2t, y'(t)=e^t, z'(t)=1-\sin t$，代入 $t=0$ 得 $x'(0)=0, y'(0)=1, z'(0)=1$。因此切向量为 $(0,1,1)$。
公式：切向量：$(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$
提示：注意求导时指数函数和三角函数的导数正确性。
步骤 5/6
目标：写出切线方程（第二问）
曲线在点 $(0,3,1)$ 处的切向量为 $(0,1,1)$，故切线方程为 $\frac{x-0}{0}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-1}{1}$。分母为0表示 $x$ 恒等于0。
提示：分母为0时，对应分子等于0，即 $x=0$。
步骤 6/6
目标：写出法平面方程（第二问）
法平面的法向量为切向量 $(0,1,1)$，过点 $(0,3,1)$，故法平面方程为 $0\cdot(x-0)+1\cdot(y-3)+1\cdot(z-1)=0$，即 $y-3+z-1=0$，化简得 $y+z-4=0$。
提示：注意法平面方程化简后为 $y+z=4$。
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