下册 7.5 多元函数微分的应用 第31题
📝 题目
31．求下列空间曲线在指定点处的切线方程和法平面方程．
（1）求空间曲线 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $P(1,1,2)$ 处的法平面方程．
（2）求球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=50$ 与锥面 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 所截出的曲线在点 $(3,4,5)$ 处的切线方程与法平面方程．
（3）求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 处的切线方程与法平面方程．
（4）设曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right.$ 由 $\left\{\begin{array}{l}t \mathrm{e}^{y}+2 x-y=2 \\ x+y+2 t(1-t)=0\end{array}\right.$ 所确定，求曲线在点 $t=0$ 处的切线方程与法线方程．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ z=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.$ 两端求微分得
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y+2 z \mathrm{~d} z=0 \\
\mathrm{~d} z=2 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y
\end{array}\right.
$$
将点 $P(1,1,2)$ 代人上式得 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} x+\mathrm{d} y+2 \mathrm{~d} z=0, \\ \mathrm{~d} z=2 \mathrm{~d} x+2 \mathrm{~d} y .\end{array}\right.$ 于是切向量为 $\tau=(1,-1,0)$ ．所以曲线在点 $P(1,1,2)$ 处的切线方程为 $\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{0}$ ，法平面方程为 $(x-1)-(y-1)=0$ ．
（2）方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=50 \\ x^{2}+y^{2}=z^{2}\end{array}\right.$ 两端求微分得
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y+2 z \mathrm{~d} z=0 \\
2 z \mathrm{~d} z=2 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y
\end{array}\right.
$$
将点 $(3,4,5)$ 代人上式得 $\left\{\begin{array}{l}3 \mathrm{~d} x+4 \mathrm{~d} y+5 \mathrm{~d} z=0, \\ 5 \mathrm{~d} z=3 \mathrm{~d} x+4 \mathrm{~d} y .\end{array}\right.$ 于是切向量为 $\tau=(4,-3,0)$ ．所以曲线在点 $(3,4,5)$ 处的切线 方程为 $\displaystyle \frac{x-3}{4}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-5}{0}$ ，法平面方程为 $4(x-3)-3(y-4)=0$ ．
（3）方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 两端求微分得
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y+2 z \mathrm{~d} z=0 \\
\mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+\mathrm{d} z=0
\end{array}\right.
$$
将点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 代人上式得 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} x-\mathrm{d} y=0, \\ \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+\mathrm{d} z=0 .\end{array}\right.$ 于是切向量为 $\tau=(1,1,-2)$ ．所以曲线在点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 处的切线方程为
法平面方程为
$$
\frac{x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{y+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{z-0}{-2},
$$
（4）将 $t=0$ 代人方程组 $\left\{\begin{array}{l}t \mathrm{e}^{y}+2 x-y=2 \\ x+y+2 t(1-t)=1\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}2 x(0)-y(0)=2, \\ x(0)+y(0)=1 .\end{array}\right.$ 解得 $x(0)=1, y(0)=0$ ．
进一步将方程组 $\left\{\begin{array}{l}t \mathrm{e}^{y}+2 x-y=2 \\ x+y+2 t(1-t)=1\end{array}\right.$ 中各方程两边分别求微分得
$$
\left\{\begin{array}{l}
t \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y+\mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} t+2 \mathrm{~d} x-\mathrm{d} y=0 \\
\mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+2(1-2 t) \mathrm{d} t=0
\end{array}\right.
$$
将 $t=0, x(0)=1, y(0)=0$ 代人上述方程组得 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} t+2 \mathrm{~d} x-\mathrm{d} y=0, \\ \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y+2 \mathrm{~d} t=0 .\end{array}\right.$ 解之得 $x_{t}^{\prime}(0)=-1, y_{t}^{\prime}(0)=-1$ 。所以 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0}=\frac{y_{t}^{\prime}(0)}{x_{t}^{\prime}(0)}=1$ ．故所求的切线方程为 $y=x-1$ ，法线方程为 $y=-x+1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定曲线方程并求微分
曲线由方程组 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=6 \\ z=x^2+y^2 \end{cases}$ 给出。对每个方程两边求微分，得到：
$$\begin{cases} 2x\,dx+2y\,dy+2z\,dz=0 \\ dz=2x\,dx+2y\,dy \end{cases}$$
提示：注意微分时不要遗漏系数，特别是第二个方程中 $dz$ 的表达式。
步骤 2/5
目标：代入给定点坐标
将点 $P(1,1,2)$ 代入微分方程组：
$$\begin{cases} 2\cdot1\,dx+2\cdot1\,dy+2\cdot2\,dz=0 \\ dz=2\cdot1\,dx+2\cdot1\,dy \end{cases}$$
化简得：
$$\begin{cases} dx+dy+2dz=0 \\ dz=2dx+2dy \end{cases}$$
提示：代入时注意系数计算正确，避免算术错误。
步骤 3/5
目标：求解切向量
将 $dz=2dx+2dy$ 代入第一个方程：
$$dx+dy+2(2dx+2dy)=0 \Rightarrow 5dx+5dy=0 \Rightarrow dy=-dx$$
取 $dx=1$，则 $dy=-1$，$dz=2\cdot1+2\cdot(-1)=0$。所以切向量为 $\tau=(1,-1,0)$。
提示：切向量可以任意缩放，通常取简单整数。注意 $dz=0$ 表示切向量在 $z$ 方向分量为0。
步骤 4/5
目标：写出切线方程
切线方向向量为 $(1,-1,0)$，过点 $(1,1,2)$，切线方程为：
$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{0}$$
注意分母为0表示方向向量在该分量为0，切线平行于 $xOy$ 平面。
公式：切线方程：$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$
提示：分母为0时，表示该坐标方向不变，即 $z=2$ 常数。
步骤 5/5
目标：写出法平面方程
法平面以切向量为法向量，过点 $(1,1,2)$，方程为：
$$1\cdot(x-1)+(-1)\cdot(y-1)+0\cdot(z-2)=0$$
化简得：
$$x-y=0$$
公式：法平面方程：$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
提示：法平面方程中系数为切向量分量，注意符号。
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