下册 7.5 多元函数微分的应用 第32题
📝 题目
32．求下列曲面的切平面方程和法线方程．
（1）求曲面 $x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的切平面方程，使其平行于 $x+4 y+6 z=0$ 。
（2）在曲面 $z=x y$ 上求一点，使过该点的法线垂直于平面 $x+3 y+z=9$ ，并求过该点的法线方程．
（3）求曲面 $\displaystyle x=\frac{y^{2}}{2}+2 z^{2}$ 上平行于平面 $2 x+2 y-4 z+1=0$ 的切平面方程，并求过切点的法线方程．
（4）已知曲面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $P$ 处的切平面平行于 $2 x+2 y+z-1=0$ ，求点 $P$ 的坐标及过该点的法线方程．
（5）求椭球 $2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $P(1,1,1)$ 的切平面方程．
（6）求曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x$ 的切平面使该切平面垂直于平面 $\displaystyle x-y-\frac{1}{2} z=2$ 和 $x-y-z=2$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为曲面上一点，过该点的切平面方程为
$$
2 x_{0}\left(x-x_{0}\right)+4 y_{0}\left(y-y_{0}\right)+6 z_{0}\left(z-z_{0}\right)=0 .
$$
由于过点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的切平面与平面 $x+4 y+6 z=0$ 平行，于是
代人曲面方程得
$$
\begin{gathered}
\frac{2 x_{0}}{1}=\frac{4 y_{0}}{4}=\frac{6 z_{0}}{6}, \text { 即 } 2 x_{0}=y_{0}=z_{0} . \\
x_{0}^{2}+8 x_{0}^{2}+12 x_{0}^{2}=21 .
\end{gathered}
$$
解之得 $x_{0}= \pm 1$ 。可见，在点 $(1,2,2)$ 和点 $(-1,-2,-2)$ 处的切平面与所给平面平行，且在点 $(1,2,2)$ 处的切平面方程为
$$
x+4 y+6 z=21,
$$
在点 $(-1,-2,-2)$ 处的切平面方程为
$$
x+4 y+6 z=-21
$$
（2）马鞍面的法向量 $(y, x,-1)$ 与 $(1,3,1)$ 平行，所以
$$
\frac{y}{1}=\frac{x}{3}=\frac{-1}{1} \text {, 即 } y=-1, x=-3, z=x y=3 \text {. }
$$
于是所求的点为 $(-3,-1,3)$ ，在该点处的法线方程为 $\displaystyle x+3=\frac{1}{3}(y+1)=z-3$ ．
（3）设 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为曲面上的点，过该点的切平面为
$$
\left(x-x_{0}\right)-y_{0}\left(y-y_{0}\right)-4 z_{0}\left(z-z_{0}\right)=0
$$
因过点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的切平面和平面 $2 x+2 y-4 z+1=0$ 平行，所以
$$
\frac{1}{2}=\frac{-y_{0}}{2}=\frac{-4 z_{0}}{-4} \text {, 即 } y_{0}=-1, z_{0}=\frac{1}{2} \text {. }
$$
代入曲面方程得 $\displaystyle x_{0}=\frac{y_{0}^{2}}{2}+2 z_{0}^{2}=1$ ．可见，在点 $\displaystyle \left(1,-1, \frac{1}{2}\right)$ 处的切平面与所给平面平行．所以切平面方程为 $\displaystyle (x-1)+(y+1)-2\left(z-\frac{1}{2}\right)=0$ ，法线方程为 $\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-\frac{1}{2}}{-2}$ ．
（4）用与（3）相同的方法可求得在点 $(1,1,2)$ 处的切平面与所给平面平行．
切平面方程为 $2(x-1)+2(y+1)+(z-2)=0$ ，法线方程为 $\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}$ ．
（5）设 $F(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}-6$ ．由于 $F_{x}=2 x, F_{y}=2 y, F_{z}=6 z$ 在全空间上处处连续，故在点 $(1,1,1)$ 处 $F_{x}=2, F_{y}=4, F_{z}=6$ ．于是切平面方程为
$$
2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0 \text {, 即 } x+2 y+3 z=6 \text {. }
$$
法线方程为
$$
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3} .
$$
（6）设 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为曲面上一点，由曲面在点 $P_{0}$ 处的平面方程
$$
\left(2 x_{0}-1\right)\left(x-x_{0}\right)+2 y_{0}\left(y-y_{0}\right)+2 z_{0}\left(z-z_{0}\right)=0 .
$$
欲使切平面垂直于所给两平面，$P_{0}$ 应满足条件：
$$
\left(2 x_{0}-1,2 y_{0}, 2 z_{0}\right) \cdot\left(1,-1,-\frac{1}{2}\right)=0,\left(2 x_{0}-1,2 y_{0}, 2 z_{0}\right) \cdot(1,-1,-1)=0, x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}=x_{0} .
$$
解得 $\displaystyle x_{0}=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2 \sqrt{2}}, y_{0}= \pm \frac{1}{2 \sqrt{2}}, z_{0}=0$ ．故所求切面为 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{2})$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定切平面法向量与已知平面平行条件
设曲面 $x^2+2y^2+3z^2=21$ 上一点为 $(x_0,y_0,z_0)$，则切平面法向量为 $(2x_0,4y_0,6z_0)$。已知平面 $x+4y+6z=0$ 的法向量为 $(1,4,6)$。由于切平面与已知平面平行，法向量对应分量成比例：$\frac{2x_0}{1}=\frac{4y_0}{4}=\frac{6z_0}{6}$，化简得 $2x_0=y_0=z_0$。
公式：切平面法向量 $(F_x,F_y,F_z)$ 与已知平面法向量平行
提示：注意比例关系要对应正确，不要写反分子分母。
步骤 2/8
目标：代入曲面方程求解切点坐标
由 $2x_0=y_0=z_0$，设 $y_0=2x_0$，$z_0=2x_0$，代入曲面方程 $x_0^2+2(2x_0)^2+3(2x_0)^2=21$，即 $x_0^2+8x_0^2+12x_0^2=21$，得 $21x_0^2=21$，解得 $x_0=\pm1$。对应切点为 $(1,2,2)$ 和 $(-1,-2,-2)$。
提示：代入时注意系数计算，避免算术错误。
步骤 3/8
目标：写出切平面方程
切平面方程形式为 $2x_0(x-x_0)+4y_0(y-y_0)+6z_0(z-z_0)=0$。代入 $(1,2,2)$ 得 $2(x-1)+8(y-2)+12(z-2)=0$，化简为 $x+4y+6z=21$。代入 $(-1,-2,-2)$ 得 $-2(x+1)-8(y+2)-12(z+2)=0$，化简为 $x+4y+6z=-21$。
公式：切平面方程 $F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
提示：化简时注意符号，确保方程正确。
步骤 4/8
目标：求法线垂直于已知平面的点
曲面 $z=xy$ 的法向量为 $(y,x,-1)$。平面 $x+3y+z=9$ 的法向量为 $(1,3,1)$。法线垂直于平面，即法向量与平面法向量平行：$\frac{y}{1}=\frac{x}{3}=\frac{-1}{1}$，解得 $y=-1$，$x=-3$，代入曲面得 $z=(-3)(-1)=3$，故点为 $(-3,-1,3)$。
公式：法向量平行条件：对应分量成比例
提示：注意法线垂直于平面等价于法向量平行于平面法向量。
步骤 5/8
目标：写出法线方程
法线方向向量为 $(1,3,1)$，过点 $(-3,-1,3)$，法线方程为 $\frac{x+3}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{1}$。
公式：法线方程 $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$
提示：方向向量取法向量即可，注意符号。
步骤 6/8
目标：求曲面 $x=y^2/2+2z^2$ 的切平面平行于已知平面
曲面改写为 $F(x,y,z)=x-\frac{y^2}{2}-2z^2=0$，法向量为 $(1,-y,-4z)$。已知平面 $2x+2y-4z+1=0$ 的法向量为 $(2,2,-4)$。平行条件：$\frac{1}{2}=\frac{-y}{2}=\frac{-4z}{-4}$，解得 $y=-1$，$z=\frac{1}{2}$。代入曲面得 $x=\frac{(-1)^2}{2}+2\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，切点为 $(1,-1,\frac{1}{2})$。
提示：注意曲面方程需化为 $F=0$ 形式，法向量分量对应正确。
步骤 7/8
目标：写出切平面和法线方程
切平面方程：$1\cdot(x-1)+(-1)(y+1)+(-4\cdot\frac{1}{2})(z-\frac{1}{2})=0$，即 $(x-1)-(y+1)-2(z-\frac{1}{2})=0$，化简得 $x-y-2z=1$。法线方向向量为 $(1,-1,-2)$，法线方程：$\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-\frac{1}{2}}{-2}$。
提示：化简切平面方程时注意常数项合并。
步骤 8/8
目标：求曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上切平面平行于已知平面的点
曲面化为 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z-4=0$，法向量为 $(2x,2y,1)$。已知平面 $2x+2y+z-1=0$ 的法向量为 $(2,2,1)$。平行条件：$\frac{2x}{2}=\frac{2y}{2}=\frac{1}{1}$，得 $x=1$，$y=1$，代入曲面得 $z=4-1-1=2$，切点为 $(1,1,2)$。切平面方程：$2(x-1)+2(y-1)+1(z-2)=0$，即 $2x+2y+z=6$。法线方程：$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}$。
提示：注意曲面方程形式，法向量分量不要漏掉常数。
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