下册 7.5 多元函数微分的应用 第33题
📝 题目
33．求解下列各题．
（1）确定正数 $\lambda$ ，使曲面 $x y z=\lambda$ 与椭圆面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某点相切．
（2）已知曲面 $x y-z=0$ 及平面 $\pi: x+3 y+z=0$ ，问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面 $\pi$ 垂直，若存在，求出此法线及此点的坐标，若不存在，说明理由．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设曲面 $x y z=\lambda$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在点 $P_{0}$ 相切，于是两曲面在该点有公共切平面．
曲面 $x y z=\lambda$ 在点 $P_{0}$ 的切平面方程为 $y_{0} z_{0}\left(x-x_{0}\right)+z_{0} x_{0}\left(y-y_{0}\right)+x_{0} y_{0}\left(z-z_{0}\right)=0$ ；
椭球面在点 $P_{0}$ 的切平面方程为 $\displaystyle \frac{x_{0}}{a^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{y_{0}}{b^{2}}\left(y-y_{0}\right)+\frac{z_{0}}{c^{2}}\left(z-z_{0}\right)=0$ ，
所以
$$
\frac{x_{0}}{a^{2} y_{0} z_{0}}=\frac{y_{0}}{b^{2} z_{0} x_{0}}=\frac{z_{0}}{c^{2} x_{0} y_{0}} \text {, 即 } \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}=\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}} \text {. }
$$
又 $\displaystyle \frac{x_{0}{ }^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}{ }^{2}}{b^{2}}+\frac{z_{0}{ }^{2}}{c^{2}}=1$ ，所以 $\displaystyle \frac{x_{0}{ }^{2}}{a^{2}}=\frac{y_{0}{ }^{2}}{b^{2}}=\frac{z_{0}{ }^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{3}$ ．从而 $\displaystyle x_{0}{ }^{2} y_{0}{ }^{2} z_{0}{ }^{2}=\frac{1}{27} a^{2} b^{2} c^{2}$ ．故所求的正数 $\displaystyle \lambda=x_{0} y_{0} z_{0}=\frac{a b c}{3 \sqrt{3}}$ ．
（2）曲面 $x y-z=0$ 上任意一点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切向量为 $\left(y_{0}, x_{0},-1\right)$ ，过点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的法线方程为 $\displaystyle \frac{x-x_{0}}{y_{0}}=\frac{y-y_{0}}{x_{0}}=\frac{z-z_{0}}{-1}$ ．欲使法线与平面 $\pi$ 垂直，须
$$
\frac{y_{0}}{1}=\frac{x_{0}}{3}=\frac{-1}{1} \text {, 即 } x_{0}=-3, y_{0}=-1, z_{0}=3 \text {. }
$$
因此曲面上过点 $(-3,-1,3)$ 的法线与平面 $\pi$ 垂直，法线方程为 $\displaystyle \frac{x+3}{-1}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-3}{-1}$ ．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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