下册 7.5 多元函数微分的应用 第34题
📝 题目
34．假设 $f$ 是一可微函数，求曲面 $\displaystyle z=x f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任一点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), x_{0} \neq 0$ 处的切平面方程，并指出该切平面是否过坐标原点．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
曲面上任意一点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切向量为 $\left(f(c)-c f^{\prime}(c), f^{\prime}(c),-1\right)$ ，过点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的切平面方程为
$$
\left(f(c)-c f^{\prime}(c)\right)\left(x-x_{0}\right)+f^{\prime}(c)\left(y-y_{0}\right)-\left(z-z_{0}\right)=0 \text {, 其中 } c=\frac{y_{0}}{x_{0}} \text {. }
$$
容易验证 $(0,0,0)$ 满足上述方程，即所有切平面都经过原点．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入参数并计算偏导数
设 $c = \frac{y}{x}$，则曲面方程为 $z = x f(c)$。计算 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数：
对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x} = f(c) + x f'(c) \cdot \frac{\partial c}{\partial x} = f(c) + x f'(c) \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = f(c) - \frac{y}{x} f'(c) = f(c) - c f'(c)$。
对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial y} = x f'(c) \cdot \frac{\partial c}{\partial y} = x f'(c) \cdot \frac{1}{x} = f'(c)$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = f(c) - c f'(c), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = f'(c)$
提示：注意链式法则，$c$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，求偏导时不要漏掉对 $c$ 的导数项。
步骤 2/6
目标：写出切平面方程的一般形式
曲面 $z = F(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面方程为：
$$z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0).$$
代入偏导数表达式，其中 $c_0 = \frac{y_0}{x_0}$，得：
$$z - z_0 = [f(c_0) - c_0 f'(c_0)](x - x_0) + f'(c_0)(y - y_0).$$
公式：$z - z_0 = F_x(x_0,y_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
提示：注意切平面方程的形式，不要忘记 $z_0$ 项。
步骤 3/6
目标：整理切平面方程
将方程移项整理为一般式：
$$[f(c_0) - c_0 f'(c_0)](x - x_0) + f'(c_0)(y - y_0) - (z - z_0) = 0.$$
即：
$$[f(c_0) - c_0 f'(c_0)]x + f'(c_0) y - z = [f(c_0) - c_0 f'(c_0)]x_0 + f'(c_0) y_0 - z_0.$$
提示：注意符号，移项时不要出错。
步骤 4/6
目标：利用曲面方程简化常数项
由于点 $(x_0, y_0, z_0)$ 在曲面上，满足 $z_0 = x_0 f(c_0)$。代入常数项：
$$[f(c_0) - c_0 f'(c_0)]x_0 + f'(c_0) y_0 - z_0 = x_0 f(c_0) - x_0 c_0 f'(c_0) + f'(c_0) y_0 - x_0 f(c_0) = - x_0 c_0 f'(c_0) + f'(c_0) y_0.$$
而 $y_0 = c_0 x_0$，所以上式等于 $- x_0 c_0 f'(c_0) + f'(c_0) c_0 x_0 = 0$。因此常数项为0。
公式：$z_0 = x_0 f(c_0), \quad y_0 = c_0 x_0$
提示：代入化简时注意 $c_0$ 的定义，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：得到最终切平面方程
由步骤3和4，常数项为0，所以切平面方程为：
$$[f(c_0) - c_0 f'(c_0)]x + f'(c_0) y - z = 0.$$
或者写成：
$$[f(c_0) - c_0 f'(c_0)](x - x_0) + f'(c_0)(y - y_0) - (z - z_0) = 0.$$
公式：$[f(c_0) - c_0 f'(c_0)]x + f'(c_0) y - z = 0$
提示：最终方程不含常数项，说明平面过原点。
步骤 6/6
目标：验证切平面过原点
将原点 $(0,0,0)$ 代入切平面方程：
$$[f(c_0) - c_0 f'(c_0)] \cdot 0 + f'(c_0) \cdot 0 - 0 = 0,$$
满足方程，因此原点在切平面上。即所有切平面都经过坐标原点。
提示：验证时只需代入坐标，注意不要遗漏。
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