下册 7.5 多元函数微分的应用 第35题
📝 题目
35．证明下列结论．
（1）已知平面 $l x+m y+n z=p$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 相切，证明 $a^{2} l^{2}+b^{2} m^{2}+c^{2} n^{2}=p^{2}$ ．
（2）证明曲面 $F(n x-l z, n y-m z)=0$ 上任一点处的切平面都平行于直线 $\displaystyle \frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n}$ ，其中 $F$ 有连续的偏导数．
（3）试证曲面上．$\displaystyle F\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 任一点处的切平面都过一定点，其中 $F(u, v)$ 可微．
（4）证明曲面 $\displaystyle z^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的所有切平面都经过某个定点，其中 $f$ 为可微函数．
（5）设函数 $F(u, v, w)$ 有连续的偏导数，证明曲面 $\displaystyle F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{y}, \frac{x}{z}\right)=0$ 上各点的切平面都相交于一点，并求出交点的坐标．
（6）设 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上连续可微函数，证明曲面 $a x+b y+c z=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 上任意一点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量与向量 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 及 $(a, b, c)$ 共面．
（7）设 $\displaystyle \frac{x z}{y}=u, \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}}=v, \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{z^{2}+y^{2}}=w$ 是以 $u, v, w$ 为参数的单参数曲面族，证明过同一点的三个曲面是两两正交的．
💡 答案解析
解题过程：
（1）设已知平面与椭球面的切点为 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，则椭球面在切点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的切平面方程为
$$
\frac{x_{0}}{a^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{y_{0}}{b^{2}}\left(y-y_{0}\right)+\frac{z_{0}}{c^{2}}\left(z-z_{0}\right)=0 \text {, 即 } \frac{x_{0}}{a^{2}} x+\frac{y_{0}}{b^{2}} y+\frac{z_{0}}{c^{2}} z=1 \text {. }
$$
它与 $l x+m y+n z=p$ 表示同一个平面，因此有 $p \neq 0$ ，且
$$
\frac{x_{0}}{a^{2}}=\frac{l}{p}, \frac{y_{0}}{b^{2}}=\frac{m}{p}, \frac{z_{0}}{c^{2}}=\frac{n}{p} .
$$
又 $l x_{0}+m y_{0}+n z_{0}=p$ ，从而有
$$
a^{2} l^{2}+b^{2} m^{2}+c^{2} n^{2}=x_{0} p l+y_{0} p m+z_{0} p n=p\left(x_{0} l+y_{0} m+z_{0} n\right)=p^{2}
$$
（2）设 $G(x, y, z)=F(n x-l z, n y-m z), u=n x-l z, v=n y-m z$ ，则
$$
G_{x}=n F_{u}, G_{y}=n F_{v}, G_{z}=-l F_{u}-m F_{v} .
$$
所以曲面上任一点处的法向量为 $n=\left\{n F_{u}, n F_{v},-l F_{u}-m F_{v}\right\}$ ．又已知直线的方向向量为 $s=\{l, m, n\}$ ，则
$$
n \cdot s=n l F_{u}+m n F_{v}+n\left(-l F_{u}-m F_{v}\right)=0
$$
故 $n \perp s$ ，从而曲面 $F(n x-l z, n y-m z)=0$ 在任意一点处的切平面都平行于已知直线．
（3）记 $\displaystyle G(x, y, z)=F\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)$ ，则
$$
G_{x}=F_{1} \cdot\left(\frac{1}{z-c}\right), G_{y}=F_{2} \cdot\left(\frac{1}{z-c}\right), G_{z}=F_{1} \cdot \frac{a-x}{(z-c)^{2}}+F_{2} \cdot \frac{b-y}{(z-c)^{2}}
$$
其中 $F_{1}, F_{2}$ 为 $F$ 关于两变量的偏导数。
曲面在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面方程为
$$
\frac{F_{1}\left(P_{0}\right)}{z_{0}-c}\left(x-x_{0}\right)+\frac{F_{2}\left(P_{0}\right)}{z_{0}-c}\left(y-y_{0}\right)+\left[F_{1}\left(P_{0}\right) \frac{a-x_{0}}{\left(z_{0}-c\right)^{2}}+F_{2}\left(P_{0}\right) \frac{b-y_{0}}{\left(z_{0}-c\right)^{2}}\right]\left(z-z_{0}\right)=0 .
$$
即
$$
F_{1}\left(P_{0}\right)\left(z_{0}-c\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{2}\left(P_{0}\right)\left(z_{0}-c\right)\left(y-y_{0}\right)+\left[F_{1}\left(P_{0}\right)\left(a-x_{0}\right)+F_{2}\left(P_{0}\right)\left(b-y_{0}\right)\right]\left(z-z_{0}\right)=0 .
$$
易见，当 $x=a, z=c, y=b$ 时上式恒等于零。于是曲面 $\displaystyle F\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 上任意一点处的切平面通过一定点，此定点为 $(a, b, c)$ ．
（4）记 $\displaystyle F(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)-z^{2}$ ，则
$$
\begin{aligned}
& F_{x}(x, y, z)=2 x f\left(\frac{y}{x}\right)-\left(x^{2}+y^{2}\right) \frac{y}{x^{2}} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \\
& F_{y}(x, y, z)=2 y f\left(\frac{y}{x}\right)+\left(x^{2}+y^{2}\right) \frac{1}{x} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \\
& F_{z}(x, y, z)=-2 z
\end{aligned}
$$
曲面在 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面为 $F_{x}\left(P_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(P_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+F_{z}\left(P_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0$ ，即
$$
\left(2 x_{0} f\left(\frac{y_{0}}{x_{0}}\right)-\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right) \frac{y_{0}}{x_{0}^{2}} f^{\prime}\left(\frac{y_{0}}{x_{0}}\right)\right) x+\left(2 y_{0} f\left(\frac{y_{0}}{x_{0}}\right)+\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right) \frac{1}{x_{0}} f^{\prime}\left(\frac{y_{0}}{x_{0}}\right)\right) y-2 z_{0} z=0
$$
易见当 $x=0, z=0, y=0$ 时上式恒等于零。于是曲面 $\displaystyle z^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任意一点处的切平面通过一定点，此定点为 $(0,0,0)$ ．
（5）曲面上任意一点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切向量为 $\displaystyle \left(\frac{1}{z_{0}} F_{3}-\frac{y_{0}}{x_{0}^{2}} F_{1}, \frac{1}{x_{0}} F_{1}-\frac{z_{0}}{y_{0}^{2}} F_{2}, \frac{1}{y_{0}} F_{2}-\frac{x_{0}}{z_{0}^{2}} F_{3}\right)$ ，其中 $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ 为 $F$ 关于三个变量的偏导数．因此过点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的切平面方程为
$$
\left(\frac{1}{z_{0}} F_{3}-\frac{y_{0}}{x_{0}^{2}} F_{1}\right)\left(x-x_{0}\right)+\left(\frac{1}{x_{0}} F_{1}-\frac{z_{0}}{y_{0}^{2}} F_{2}\right)\left(y-y_{0}\right)+\left(\frac{1}{y_{0}} F_{2}-\frac{x_{0}}{z_{0}^{2}} F_{3}\right)\left(z-z_{0}\right)=0
$$
容易验证，$(0,0,0)$ 满足上述方程，即所有切平面都经过原点．
（6）记 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, F(x, y, z)=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-(a x+b y+c z)$ ，则
$$
F_{x}(x, y, z)=2 x f^{\prime}(u)-a, F_{y}(x, y, z)=2 y f^{\prime}(u)-b, F_{x}(x, y, z)=2 z f^{\prime}(u)-c
$$
所以曲面在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量为 $\left(2 x_{0} f^{\prime}\left(u_{0}\right)-a_{0}, 2 y_{0} f^{\prime}\left(u_{0}\right)-b, 2 z_{0} f^{\prime}\left(u_{0}\right)-c\right)$ ，其中
$u_{0}=x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}+z_{0}{ }^{2}$ ．又
$$
\left|\begin{array}{ccc}
2 x_{0} f^{\prime}\left(u_{0}\right)-a_{0} & 2 y_{0} f^{\prime}\left(u_{0}\right)-b & 2 z_{0} f^{\prime}\left(u_{0}\right)-c \\
x_{0} & y_{0} & z_{0} \\
a & b & c
\end{array}\right|=0 .
$$
故点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量与向量 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 及 $(a, b, c)$ 共面．
（7）三曲面的法向量分别为
$$
\begin{aligned}
& n_{1}=\left(\frac{z}{y},-\frac{x z}{y^{2}}, \frac{x}{y}\right) \\
& n_{2}=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}}, \frac{z}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}}\right) \\
& n_{3}=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{y}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}},-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}}\right) .
\end{aligned}
$$
于是 $\left(n_{1}, n_{2}\right)=\left(n_{1}, n_{3}\right)=\left(n_{2}, n_{3}\right)=0$ ，即过同一点的三个曲面是两两正交的。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设切点并写出椭球面切平面方程
设平面与椭球面的切点为 $(x_0, y_0, z_0)$。椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面方程为 $\frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{z_0}{c^2}(z-z_0)=0$，化简得 $\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y+\frac{z_0}{c^2}z=1$。
公式：椭球面切平面方程：$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y+\frac{z_0}{c^2}z=1$
提示：注意切平面方程化简后常数项为1，因为切点满足椭球面方程。
步骤 2/5
目标：比较系数得到比例关系
已知平面 $lx+my+nz=p$ 与切平面重合，故 $p \neq 0$ 且对应系数成比例：$\frac{x_0}{a^2} = \frac{l}{p}$, $\frac{y_0}{b^2} = \frac{m}{p}$, $\frac{z_0}{c^2} = \frac{n}{p}$。
公式：系数比例关系
提示：注意 $p$ 可能为零，但若 $p=0$ 则平面过原点，而椭球面切平面不过原点（因为常数项为1），故 $p \neq 0$。
步骤 3/5
目标：利用切点在平面上得到关系
切点 $(x_0, y_0, z_0)$ 在平面 $lx+my+nz=p$ 上，故 $l x_0 + m y_0 + n z_0 = p$。
提示：切点同时满足椭球面和平面方程。
步骤 4/5
目标：代入比例关系并化简
由比例关系得 $x_0 = \frac{a^2 l}{p}$, $y_0 = \frac{b^2 m}{p}$, $z_0 = \frac{c^2 n}{p}$。代入 $l x_0 + m y_0 + n z_0 = p$ 得 $l \cdot \frac{a^2 l}{p} + m \cdot \frac{b^2 m}{p} + n \cdot \frac{c^2 n}{p} = p$，即 $\frac{a^2 l^2 + b^2 m^2 + c^2 n^2}{p} = p$。
提示：注意代入时不要漏掉分母 $p$。
步骤 5/5
目标：得出结论
两边乘以 $p$ 得 $a^2 l^2 + b^2 m^2 + c^2 n^2 = p^2$，证毕。
公式：$a^2 l^2 + b^2 m^2 + c^2 n^2 = p^2$
提示：最终结果形式简洁，注意与题目要求一致。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。