下册 8.1 二重积分 第1题
📝 题目
1．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由直线 $y=2, y=x$ 和曲线 $x y=1$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2, \frac{1}{x} \leqslant y \leqslant x\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{x^{3}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{y^{2}+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由直线 $y=x, y=1$ 及 $x=0$ 围成。．
（6）设 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上连续且为奇函数，区域 $D$ 由曲线 $y=4-x^{2}$ 与 $y=-3 x, x=1$ 所围成，求 $I=\iint_{D}\left(1+f(x) \ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\iint_{D} x\left(1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 由曲线 $y=x^{3}$ 与 $x=-1, y=1$ 所围成，$f(x)$ 为实值连续函数．
（8） $\iint_{D}\left(x^{2} y+y^{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant a x$ 。挻安大学 2000）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）积分区域可表示为 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant y \leqslant 2, \frac{1}{y} \leqslant x \leqslant y\right\}$ ，如图8．1 所示．
$$
\iint_{D} \frac{x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{1}^{2} \frac{1}{y} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{y}}^{y} x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \int_{1}^{2}\left(y^{2}-y^{-4}\right) \mathrm{d} y=\frac{49}{72} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-123.jpg?height=1058&width=1161&top_left_y=6727&top_left_x=1250}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.1}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-123.jpg?height=1058&width=1161&top_left_y=6727&top_left_x=3377}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{8.2}
\end{figure}
（2）积分区域如图8．2所示．
$$
\iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{1}^{2} x^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{y^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{1}^{2}\left(x^{3}-x\right) \mathrm{d} x=\frac{9}{4}
$$
（3）积分区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,1 \leqslant y \leqslant x\}$ ，如图 8.3 所示．
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \ln \frac{x^{3}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{1}^{x} \ln \frac{x^{3}}{y} \mathrm{~d} y=\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{1}^{x}(3 \ln x-\ln y) \mathrm{d} y \\
& =2 \int_{1}^{2} x \ln x \mathrm{~d} x-3 \int_{1}^{2} \ln x \mathrm{~d} x+\int_{1}^{2}(x-1) \mathrm{d} x=2-2 \ln 2
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-124.jpg?height=1037&width=1086&top_left_y=821&top_left_x=4544}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．3}
\end{figure}
（4）积分区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant y \leqslant 2, y \leqslant x \leqslant 2\}=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,1 \leqslant y \leqslant x\}$ ，如图8．3所示．
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \ln \frac{y}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D} \ln y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-2 \iint_{D} \ln x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{1}^{2} \ln y \mathrm{~d} y \int_{y}^{2} \mathrm{~d} x-2 \int_{1}^{2} \ln x \mathrm{~d} x \int_{1}^{x} \mathrm{~d} y \\
& =\int_{1}^{2}(2-y) \ln y \mathrm{~d} y-2 \int_{1}^{2}(x-1) \ln x \mathrm{~d} x=\int_{1}^{2}(4-3 x) \ln x \mathrm{~d} x=2 \ln 2-\frac{7}{4}
\end{aligned}
$$
（5）积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant y\}$ ，如图 8.4 所示．
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \frac{1}{y^{2}+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} \frac{1}{y^{2}+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\left.\int_{0}^{1} \ln \left(x+y^{2}\right)\right|_{0} ^{y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \ln (1+y) \mathrm{d} y-\int_{0}^{1} \ln y \mathrm{~d} y \\
& =\left.[(1+y) \ln (1+y)-y-y \ln y+y]\right|_{0} ^{1}=2 \ln 2 .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-124.jpg?height=1023&width=1058&top_left_y=4565&top_left_x=1243}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.4}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-124.jpg?height=1486&width=1106&top_left_y=4102&top_left_x=3605}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.5 。}
\end{figure}
（6）将积分区域分成两部分 $D_{1}, D_{2}$ ，其中，$D_{1}$ 由 $y=4-x^{2}$ 与 $y=-3 x, y=3 x$ 所围成， $D_{2}=\{(x, y) \mid-3 x \leqslant y \leqslant 3 x, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，则 $D_{1}$ 关于 $y$ 轴对称，$D_{2}$ 关于 $x$ 轴对称（见图8．5）．
由于 $g(y)=\ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)$ 是奇函数，所以
$$
\begin{aligned}
I & =\iint_{D}\left(1+f(x) \ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{D_{1}}\left(1+f(x) \ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{2}}\left(1+f(x) \ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{D_{1}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{3 x}^{4-x^{2}} \mathrm{~d} y+2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{3 x} \mathrm{~d} y=\frac{22}{3}
\end{aligned}
$$
（7）方法 1：记 $F(x)=x \int_{x^{3}}^{1} y f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y, x \in[-1,1]$ ，则 $F(-x)=-x \int_{-x^{3}}^{1} y f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ．
$$
F(x)+F(-x)=x \int_{x^{3}}^{1} y f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y-x \int_{-x^{3}}^{1} y f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y=x \int_{-x^{3}}^{x^{3}} y f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y .
$$
由于 $y f\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 关于 $y$ 为奇函数，所以 $F(x)=x \int_{x^{\prime}}^{1} y f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ 为奇函数．于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} x\left(1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{3}}^{1} x\left(1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} y \\
& =\int_{-1}^{1} x\left(1-x^{3}\right) \mathrm{d} x+\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{3}}^{1} x y f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y \\
& =\int_{-1}^{1} x\left(1-x^{3}\right) \mathrm{d} x=-\frac{2}{5} .
\end{aligned}
$$
方法 2：用 $y=-x^{3}$ 将区域 $D$ 分成 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，其中 $D_{1}$ 关于 $y$ 轴对称，$D_{2}$ 关于 $x$ 轴对称（见图8．6）．于是
$$
\iint_{D} x\left(1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{3}}^{1} x \mathrm{~d} y=-\frac{2}{5} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-125.jpg?height=1017&width=1050&top_left_y=3066&top_left_x=1257}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.6}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-125.jpg?height=948&width=975&top_left_y=3135&top_left_x=3536}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．7}
\end{figure}
（8）如图 8.7 所示，由于积分区域为关于 $x$ 轴对称的图形，$f(x, y)=x^{2} y+y^{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 为关于 $y$ 的奇函数．所以
$$
\begin{aligned}
& \iint_{D}\left(x^{2} y+y^{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{D} x \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a \cos \theta} r \cos \theta \cdot r \cdot r \mathrm{~d} r \\
& =\frac{a^{4}}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{5} \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{a^{4}}{2} \cdot \frac{1}{2} B\left(\frac{1}{2}, 3\right)=\frac{4 a^{4}}{15} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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