下册 8.1 二重积分 第2题
📝 题目
2．计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由直线 $x=0, y=1$ 及 $y=x$ 围成。曲阜师大 2007，矿业大学 2004，深圳大学 2006，东南大学 2008）
（2） $\iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由直线 $y=x, x=0$ 及 $y=1$ 围成。
（3） $\iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由平面上曲线 $y=x$ 与 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{3}}$ 围成的有界闭区域。武汉大学1992）分析：由于被积函数 $\mathrm{e}^{-y^{2}}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先 $x$ 后 $y$ 的二次积分．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于函数 $\mathrm{e}^{-y^{2}}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先对 $x$ 后对 $y$ 的二次积分（见
图8．8）．其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant y\}$ ．所以
$$
\iint_{D} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{y^{3}}{3} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\frac{1}{6} \int_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t=\left.\frac{1}{6}\left(-t \mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{6}-\frac{1}{3 \mathrm{e}} .
$$
（2）$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant y\}$ ，如图 8.8 所示．
$$
\iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} y \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=-\left.\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{-y^{2}}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right) .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-126.jpg?height=1024&width=1065&top_left_y=2762&top_left_x=1077}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.8}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-126.jpg?height=1694&width=1693&top_left_y=2085&top_left_x=3073}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．9}
\end{figure}
（3）$D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1, y^{3} \leqslant x \leqslant y\right\} \bigcup\left\{(x, y) \mid-1 \leqslant y \leqslant 0, y \leqslant x \leqslant y^{3}\right\}$ ，如图 8.9 所示．
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{y^{3}}^{y} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{y^{3}} \mathrm{~d} x \\
& =\int_{0}^{1}\left(y-y^{3}\right) \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{-1}^{0}\left(y^{3}-y\right) \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \\
& =2 \int_{0}^{1}\left(y-y^{3}\right) \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\frac{1}{\mathrm{e}}
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/11
目标：分析积分区域，确定积分次序
被积函数 $e^{-y^2}$ 的原函数不能用初等函数表示，因此需要先对 $x$ 积分，后对 $y$ 积分。对于第（1）题，区域 $D$ 由 $x=0$, $y=1$, $y=x$ 围成，可表示为 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\,0\le x\le y\}$。
提示：注意积分次序的选择：当被积函数关于 $y$ 的原函数不是初等函数时，应优先考虑先对 $x$ 积分。
步骤 2/11
目标：将二重积分化为累次积分
将二重积分化为先 $x$ 后 $y$ 的二次积分：
$$
\iint_D x^2 e^{-y^2} dxdy = \int_0^1 dy \int_0^y x^2 e^{-y^2} dx.
$$
公式：累次积分公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b dy \int_{c(y)}^{d(y)} f(x,y) dx$
提示：注意积分上下限的确定：$y$ 从0到1，$x$ 从0到$y$。
步骤 3/11
目标：计算内层积分
先对 $x$ 积分，$e^{-y^2}$ 视为常数：
$$
\int_0^y x^2 e^{-y^2} dx = e^{-y^2} \int_0^y x^2 dx = e^{-y^2} \cdot \frac{y^3}{3} = \frac{y^3}{3} e^{-y^2}.
$$
公式：$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$
提示：注意 $e^{-y^2}$ 与 $x$ 无关，可直接提出。
步骤 4/11
目标：计算外层积分
外层积分为 $\int_0^1 \frac{y^3}{3} e^{-y^2} dy$。令 $t = y^2$，则 $dt = 2y dy$，$y^3 dy = \frac{1}{2} t dt$，积分限 $y:0\to1$ 对应 $t:0\to1$：
$$
\int_0^1 \frac{y^3}{3} e^{-y^2} dy = \frac{1}{3} \int_0^1 y^3 e^{-y^2} dy = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 t e^{-t} dt = \frac{1}{6} \int_0^1 t e^{-t} dt.
$$
公式：换元法：$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$
提示：换元时注意积分限的变换，以及 $y^3dy$ 与 $dt$ 的关系。
步骤 5/11
目标：计算定积分 $\int_0^1 t e^{-t} dt$
使用分部积分法：
$$
\int_0^1 t e^{-t} dt = \left[ -t e^{-t} \right]_0^1 + \int_0^1 e^{-t} dt = (-1\cdot e^{-1} - 0) + \left[ -e^{-t} \right]_0^1 = -e^{-1} + (-e^{-1} + 1) = 1 - \frac{2}{e}.
$$
公式：分部积分：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意符号处理，$\int e^{-t} dt = -e^{-t}$。
步骤 6/11
目标：得出第（1）题结果
将结果代入：
$$
\frac{1}{6} \left(1 - \frac{2}{e}\right) = \frac{1}{6} - \frac{1}{3e}.
$$
提示：最终结果化简为 $\frac{1}{6} - \frac{1}{3e}$。
步骤 7/11
目标：第（2）题：确定区域并化为累次积分
区域 $D$ 与第（1）题相同：$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\,0\le x\le y\}$。
$$
\iint_D e^{-y^2} dxdy = \int_0^1 dy \int_0^y e^{-y^2} dx.
$$
提示：注意被积函数不含 $x$，内层积分简单。
步骤 8/11
目标：第（2）题：计算积分
先对 $x$ 积分：$\int_0^y e^{-y^2} dx = e^{-y^2} \cdot y = y e^{-y^2}$。
再对 $y$ 积分：
$$
\int_0^1 y e^{-y^2} dy = \left[ -\frac{1}{2} e^{-y^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{2} e^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left(1 - e^{-1}\right).
$$
公式：$\int y e^{-y^2} dy = -\frac{1}{2} e^{-y^2}$
提示：注意 $\int y e^{-y^2} dy$ 可直接凑微分。
步骤 9/11
目标：第（3）题：分析区域并分段
区域 $D$ 由 $y=x$ 和 $y=x^{1/3}$ 围成，两曲线交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 以及 $(-1,-1)$。由于对称性，区域关于原点对称，但被积函数 $e^{-y^2}$ 是偶函数，可只考虑 $y\ge0$ 部分再乘以2。对于 $y\ge0$，$x$ 从 $y^3$ 到 $y$；对于 $y<0$，$x$ 从 $y$ 到 $y^3$。因此：
$$
D = \{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\, y^3\le x\le y\} \cup \{(x,y)\mid -1\le y\le 0,\, y\le x\le y^3\}.
$$
提示：注意曲线 $y=x^{1/3}$ 等价于 $x=y^3$，且需考虑 $y$ 为负的情况。
步骤 10/11
目标：第（3）题：化为累次积分并利用对称性
将二重积分化为两个累次积分之和：
$$
\iint_D e^{-y^2} dxdy = \int_0^1 e^{-y^2} dy \int_{y^3}^y dx + \int_{-1}^0 e^{-y^2} dy \int_y^{y^3} dx.
$$
计算内层积分：
$$
\int_{y^3}^y dx = y - y^3, \quad \int_y^{y^3} dx = y^3 - y.
$$
由于 $e^{-y^2}$ 是偶函数，且 $y-y^3$ 是奇函数，但注意第二个积分中 $y^3-y = -(y-y^3)$，且 $e^{-y^2}$ 偶，所以两个积分相等：
$$
\int_{-1}^0 (y^3-y) e^{-y^2} dy = \int_0^1 (y-y^3) e^{-y^2} dy.
$$
因此：
$$
\iint_D e^{-y^2} dxdy = 2 \int_0^1 (y - y^3) e^{-y^2} dy.
$$
提示：利用奇偶性简化计算，注意 $y-y^3$ 是奇函数，但积分区间对称时需谨慎。
步骤 11/11
目标：第（3）题：计算积分
计算 $\int_0^1 (y - y^3) e^{-y^2} dy$。拆分为两个积分：
$$
\int_0^1 y e^{-y^2} dy - \int_0^1 y^3 e^{-y^2} dy.
$$
第一个积分：$\int_0^1 y e^{-y^2} dy = \left[ -\frac{1}{2} e^{-y^2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}(1 - e^{-1})$。
第二个积分：令 $t=y^2$，$dt=2y dy$，$y^3 dy = \frac{1}{2} t dt$，则
$$
\int_0^1 y^3 e^{-y^2} dy = \frac{1}{2} \int_0^1 t e^{-t} dt = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{2}{e}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{e}.
$$
因此：
$$
\int_0^1 (y - y^3) e^{-y^2} dy = \frac{1}{2}(1 - e^{-1}) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{e}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} - \frac{1}{2} + \frac{1}{e} = \frac{1}{2e}.
$$
乘以2得：$2 \cdot \frac{1}{2e} = \frac{1}{e}$。
公式：$\int y e^{-y^2} dy = -\frac{1}{2} e^{-y^2}$，$\int y^3 e^{-y^2} dy = -\frac{1}{2} y^2 e^{-y^2} - \frac{1}{2} e^{-y^2}$（或换元）
提示：注意第二个积分的计算，也可直接使用第（1）题的结果。
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