下册 8.1 二重积分 第3题
📝 题目
3．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 由直线 $x=0, y=x$ 及 $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}$ 所围成．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 由直线 $y=0, y=x$ 及 $x=\pi$ 所围成。．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $y=x, y=1, x=0$ 围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x$ 及抛物线 $x=y^{2}$ 围成的区域。
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x$ 与抛物线 $x=y^{2}$ 所围成的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 由 $y=x^{2}, x=1$ 及 $x$ 轴围成。
分析：由于被积函数 $\displaystyle \frac{\sin y}{y}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先对 $x$ 后对 $y$ 的二次积分．同理被积函数 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 的原函数也不能用初等函数表示，应化为先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 8.10 所示，$\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\right., 0 \leqslant x \leqslant y\right\}$ ，
$$
\iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin y \mathrm{~d} y=1
$$
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．10}
\end{figure}
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．11}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-127.jpg?height=1009&width=1058&top_left_y=2576&top_left_x=4040}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．12}
\end{figure}
（2）如图8．11所示，$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x, 0 \leqslant x \leqslant \pi\}$ ，
$$
\iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma=\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{0}^{x} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x=2
$$
（3）如图8．12所示，$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant y\}$ ，
$$
\iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \sin y \mathrm{~d} y=1-\cos 1 .
$$
（4）如图 8.13 所示，$D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1, y^{2} \leqslant x \leqslant y\right\}$ ，
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y^{2}}^{y} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1}\left(y-y^{2}\right) \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y \\
& =\int_{0}^{1} \sin y \mathrm{~d} y-\int_{0}^{1} y \sin y \mathrm{~d} y \\
& =-\left.\cos y\right|_{0} ^{1}-\left.(-y \cos y+\sin y)\right|_{0} ^{1}=1-\sin 1
\end{aligned}
$$
（5）如图 8.13 所示，$D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1, y^{2} \leqslant x \leqslant y\right\}$ ，
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-127.jpg?height=1016&width=974&top_left_y=5097&top_left_x=4531}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．13}
\end{figure}
$$
\iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y^{2}}^{y} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1}(1-y) \sin y \cos y \mathrm{~d} y
$$
令 $t=2 y$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{4} \int_{0}^{2}\left(1-\frac{t}{2}\right) \sin t \mathrm{~d} t=\frac{1}{4} \int_{0}^{2} \sin t \mathrm{~d} t-\frac{1}{8} \int_{0}^{2} t \sin t \mathrm{~d} t=\frac{1}{4}-\frac{1}{8} \sin 2$ ．
（6）如图 8.14 所示，$D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1\right\}$ ，
$$
\iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} x \sin x \mathrm{~d} x=\sin 1-\cos 1
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区域与积分次序
被积函数 $\frac{\sin y}{y}$ 的原函数不能用初等函数表示，因此应化为先对 $x$ 后对 $y$ 的二次积分。区域 $D$ 由 $x=0$, $y=x$, $y=\frac{\pi}{2}$ 围成，可表示为 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le \frac{\pi}{2}, 0\le x\le y\}$。
提示：注意积分次序的选择：当被积函数为 $\frac{\sin y}{y}$ 时，先对 $x$ 积分可消去分母中的 $y$。
步骤 2/5
目标：化为累次积分
将二重积分化为累次积分：
$$\iint_D \frac{\sin y}{y} \, d\sigma = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dy \int_0^y \frac{\sin y}{y} \, dx.$$
公式：二重积分化为累次积分公式
提示：注意积分限的对应：先对 $x$ 积分时，$x$ 从 $0$ 到 $y$；再对 $y$ 积分时，$y$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 3/5
目标：计算内层积分
内层积分中，$\frac{\sin y}{y}$ 关于 $x$ 是常数，因此
$$\int_0^y \frac{\sin y}{y} \, dx = \frac{\sin y}{y} \cdot y = \sin y.$$
公式：常数函数的积分
提示：注意 $\frac{\sin y}{y}$ 在 $y=0$ 处是未定义的，但极限存在，积分时视为可去奇点。
步骤 4/5
目标：计算外层积分
外层积分为
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin y \, dy = [-\cos y]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 = 1.$$
公式：$\int \sin y \, dy = -\cos y + C$
提示：注意代入上下限时符号的正确性。
步骤 5/5
目标：得出结果
因此，原二重积分的值为 $1$。
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