下册 8.1 二重积分 第4题
📝 题目
4．计算二重积分 $\iint_{[0, \pi] \times[0,1]} y \sin (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-127.jpg?height=1002&width=1003&top_left_y=7197&top_left_x=4544}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．14}
\end{figure}
💡 答案解析
解题过程：
$$
\iint_{[0, \pi] \times[0,1]} y \sin (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\pi} y \sin (x y) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}(1-\cos (\pi y)) \mathrm{d} y=1 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将二重积分化为累次积分
积分区域为矩形 $[0, \pi] \times [0, 1]$，因此可以交换积分次序。先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分：
$$
\iint_{[0, \pi] \times [0, 1]} y \sin(xy) \, dx \, dy = \int_0^1 \left( \int_0^\pi y \sin(xy) \, dx \right) dy.
$$
公式：累次积分公式：$\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y) dx dy = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) dx \right) dy$
提示：注意积分次序：先对 $x$ 积分时，$y$ 视为常数。
步骤 2/5
目标：计算内层积分（对 $x$）
内层积分中 $y$ 是常数，因此
$$
\int_0^\pi y \sin(xy) \, dx = y \int_0^\pi \sin(xy) \, dx.
$$
计算 $\int \sin(xy) \, dx$：令 $u = xy$，则 $du = y \, dx$，但更直接地，$\int \sin(xy) \, dx = -\frac{\cos(xy)}{y}$。因此
$$
\int_0^\pi \sin(xy) \, dx = \left[ -\frac{\cos(xy)}{y} \right]_{x=0}^{x=\pi} = -\frac{\cos(\pi y)}{y} + \frac{\cos(0)}{y} = \frac{1 - \cos(\pi y)}{y}.
$$
乘以 $y$ 得：
$$
y \cdot \frac{1 - \cos(\pi y)}{y} = 1 - \cos(\pi y).
$$
公式：$\int \sin(ax) dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + C$
提示：注意 $y$ 可能为0？但积分区间 $y \in [0,1]$，在 $y=0$ 处被积函数 $y\sin(xy)$ 为0，且 $\frac{1-\cos(\pi y)}{y}$ 在 $y=0$ 处极限为0，因此处理时无需担心。
步骤 3/5
目标：化简内层积分结果
内层积分结果为 $1 - \cos(\pi y)$，因此原二重积分化为
$$
\int_0^1 (1 - \cos(\pi y)) \, dy.
$$
提示：注意结果中 $y$ 已被消去。
步骤 4/5
目标：计算外层积分（对 $y$）
计算定积分：
$$
\int_0^1 (1 - \cos(\pi y)) \, dy = \int_0^1 1 \, dy - \int_0^1 \cos(\pi y) \, dy.
$$
第一部分：$\int_0^1 1 \, dy = 1$。
第二部分：$\int_0^1 \cos(\pi y) \, dy = \left[ \frac{\sin(\pi y)}{\pi} \right]_0^1 = \frac{\sin(\pi)}{\pi} - \frac{\sin(0)}{\pi} = 0$。
因此结果为 $1 - 0 = 1$。
公式：$\int \cos(ax) dx = \frac{\sin(ax)}{a} + C$
提示：注意 $\sin(\pi)=0$，$\sin(0)=0$。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，二重积分的值为 $1$。
提示：最终答案是一个数值。
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