下册 8.1 二重积分 第5题
📝 题目
5．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ．
（4） $\iint_{D} \sqrt{x^{9} y^{7}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ．
（5） $\iint_{D} x y \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 在第一象限的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由曲线 $y=|x|, x^{2}+y^{2}=1$ 及 $x^{2}+y^{2}=4$ 围成且 $D$ 在 $x$ 轴上方。
（7） $\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, a0)$ ．
分析：由于积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分．又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）积分区域 $D$ 如图 8．15．因为区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}$ 是变量 $y$ 的偶函数，函数 $\displaystyle g(x, y)=\frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}}$ 是变量 $y$ 的奇函数．令
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\},
$$
则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} \frac{r}{1+r^{2}} \mathrm{~d} r=\frac{\pi \ln 2}{2}$ ．
$$
\iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-128.jpg?height=1154&width=837&top_left_y=6976&top_left_x=4655}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．15}
\end{figure}
故
$$
\iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi \ln 2}{2} .
$$
（2）如图 8．15，积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，函数 $\displaystyle g(x, y)=\frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}}$ 是变量 $y$ 的奇函数，则
$$
\iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
（3）积分区域 $D$ 如图 8.16 所示．因为区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}$ 是变量 $x$ 的偶函数，函数 $\displaystyle g(x, y)=\frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}}$ 是变量 $x$ 的奇函数，则
$$
\iint_{D} \frac{1+x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+r^{2}}} r \mathrm{~d} r=\left.\pi \cdot \sqrt{1+r^{2}}\right|_{0} ^{1}=(\sqrt{2}-1) \pi
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-129.jpg?height=1113&width=1099&top_left_y=3301&top_left_x=1326}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．16}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-129.jpg?height=1099&width=1106&top_left_y=3315&top_left_x=3577}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．17}
\end{figure}
（4）如图 8.17 所示，作极坐标变换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \sqrt{x^{9} y^{7}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} \sqrt{(r \cos \theta)^{9}(r \sin \theta)^{7}} r \mathrm{~d} r=\int_{0}^{1} r^{9} \mathrm{~d} r \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{\frac{9}{2}} \theta \sin ^{\frac{7}{2}} \theta \mathrm{~d} \theta \\
& =\frac{1}{20} \cdot B\left(\frac{11}{4}, \frac{9}{4}\right)=\frac{1}{20} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{11}{4}\right) \Gamma\left(\frac{9}{4}\right)}{\Gamma(5)}=\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{4!} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{4}\right) \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) \\
& =\frac{7}{2^{13}} \cdot \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{7}{2^{13}} \cdot \frac{\pi}{\sin \frac{\pi}{4}}=\frac{7 \sqrt{2} \pi}{2^{13}} .
\end{aligned}
$$
注：这里用了余元公式 $\displaystyle \Gamma(p) \Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin p \pi}(0
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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