下册 8.1 二重积分 第6题
📝 题目
6．积分区域 $D$ 为 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D} \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=\pi$ ：华南理 $I$ 2003）
（2） $\iint_{D}\left(3 x y^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：中科大 2013）
分析：由图形和被积函数的特点可知此二重积分需用极坐标来计算．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图8．21 所示，在极坐标系中，闭区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 可表示为： $0 \leqslant r \leqslant a, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ 。于是
$$
\iint_{x^{2}+y^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：建立极坐标系表示积分区域
由于积分区域 $D$ 是圆盘 $x^2+y^2 \leq a^2$，被积函数是 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的函数，采用极坐标变换：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。区域 $D$ 表示为 $0 \leq r \leq a$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$。
公式：极坐标变换公式：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：注意极坐标下面积元多一个因子 $r$，不要遗漏。
步骤 2/9
目标：将二重积分化为极坐标下的累次积分
对于被积函数 $f(\sqrt{x^2+y^2})$，有：
$$\iint_D f(\sqrt{x^2+y^2})\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^a f(r)\, r\,\mathrm{d}r = 2\pi \int_0^a r f(r)\,\mathrm{d}r.$$
公式：极坐标下二重积分公式：$\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^a f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r$
提示：当被积函数只依赖于 $r$ 时，$\theta$ 积分直接得到 $2\pi$。
步骤 3/9
目标：计算第(1)小题的积分
对于 $a=\pi$，被积函数 $\cos\sqrt{x^2+y^2} = \cos r$，所以
$$\iint_D \cos\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^\pi \cos r \cdot r\,\mathrm{d}r = 2\pi \int_0^\pi r\cos r\,\mathrm{d}r.$$
提示：注意 $a=\pi$，积分上限是 $\pi$。
步骤 4/9
目标：计算 $\int_0^\pi r\cos r\,\mathrm{d}r$
使用分部积分法：令 $u=r$, $\mathrm{d}v=\cos r\,\mathrm{d}r$，则 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}r$, $v=\sin r$。于是
$$\int_0^\pi r\cos r\,\mathrm{d}r = \left. r\sin r \right|_0^\pi - \int_0^\pi \sin r\,\mathrm{d}r = 0 - (-\cos r)\big|_0^\pi = \cos\pi - \cos 0 = -1 - 1 = -2.$$
公式：分部积分公式：$\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$
提示：注意 $\sin\pi=0$, $\sin0=0$，所以第一项为0；$\int\sin r\,\mathrm{d}r = -\cos r$，代入上下限得 $-\cos\pi + \cos0 = -(-1)+1=2$，但前面有负号，所以结果为 $-2$。
步骤 5/9
目标：得出第(1)小题结果
将积分结果乘以 $2\pi$：
$$2\pi \times (-2) = -4\pi.$$
提示：最终结果 $-4\pi$。
步骤 6/9
目标：计算第(2)小题的积分：化为极坐标
对于 $a=1$，被积函数 $3xy^2 - x^2$。在极坐标下：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $3xy^2 = 3r\cos\theta \cdot r^2\sin^2\theta = 3r^3\cos\theta\sin^2\theta$，$x^2 = r^2\cos^2\theta$。所以
$$\iint_D (3xy^2 - x^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^1 (3r^3\cos\theta\sin^2\theta - r^2\cos^2\theta)\, r\,\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^1 (3r^4\cos\theta\sin^2\theta - r^3\cos^2\theta)\,\mathrm{d}r.$$
提示：注意 $r$ 的幂次：$3xy^2$ 项中 $r$ 的幂次为 $1+2+1=4$（因为面积元还有一个 $r$），$x^2$ 项中 $r$ 的幂次为 $2+1=3$。
步骤 7/9
目标：分离变量并计算 $r$ 积分
将二重积分分解为两个积分之和：
$$\iint_D = 3\int_0^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta \int_0^1 r^4\,\mathrm{d}r - \int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta \int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r.$$
计算 $r$ 积分：
$$\int_0^1 r^4\,\mathrm{d}r = \frac{1}{5},\quad \int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r = \frac{1}{4}.$$
公式：幂函数积分公式：$\int_0^1 r^n\,\mathrm{d}r = \frac{1}{n+1}$
提示：注意 $r$ 的积分限是0到1。
步骤 8/9
目标：计算 $\theta$ 积分
计算 $\int_0^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta$：令 $u=\sin\theta$，则 $\mathrm{d}u=\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$，当 $\theta$ 从0到 $2\pi$ 时，$u$ 从0到0，且函数周期对称，积分为0。
计算 $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta$：利用公式 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$，则
$$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1+\cos2\theta}{2}\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\left(\int_0^{2\pi} 1\,\mathrm{d}\theta + \int_0^{2\pi} \cos2\theta\,\mathrm{d}\theta\right) = \frac{1}{2}(2\pi + 0) = \pi.$$
公式：倍角公式：$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$
提示：注意 $\int_0^{2\pi} \cos2\theta\,\mathrm{d}\theta = 0$。
步骤 9/9
目标：得出第(2)小题结果
将积分结果代入：
$$\iint_D = 3 \times 0 \times \frac{1}{5} - \pi \times \frac{1}{4} = -\frac{\pi}{4}.$$
提示：注意第一项为0，第二项负号。
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