下册 8.1 二重积分 第8题
📝 题目
8．积分区域 $D$ 由 $x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成，计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（2） $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$. ．
（3） $\iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图8．23 所示，令 $\displaystyle x=\frac{1}{2}+r \cos \theta, y=\frac{1}{2}+r \sin \theta$ ，则 $D$ 变成 $\displaystyle D^{\prime}: 0 \leqslant r \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi,|J|=r$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r(1+r \cos \theta+r \sin \theta) \mathrm{d} r$
$$
=2 \pi \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{2}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-132.jpg?height=1259&width=1203&top_left_y=1712&top_left_x=4261}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．23}
\end{figure}
（2） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r\left(\frac{1}{2}+r \cos \theta\right)\left(\frac{1}{2}+r \sin \theta\right) \mathrm{d} r=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{8}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r(1+r \cos \theta-r \sin \theta) \mathrm{d} r=2 \pi \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别积分区域并作变量代换
积分区域 $D$ 由 $x^2+y^2 = x+y$ 围成，配方得 $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$，是以 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 为圆心、半径 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的圆。作平移变换：令 $x = \frac{1}{2}+r\cos\theta$，$y = \frac{1}{2}+r\sin\theta$，则 $D$ 变为 $D' : 0\le r\le \frac{\sqrt{2}}{2},\,0\le\theta\le 2\pi$，雅可比行列式 $|J|=r$。
公式：x = \frac{1}{2}+r\cos\theta,\quad y = \frac{1}{2}+r\sin\theta,\quad |J|=r
提示：注意配方正确，圆心和半径要准确；平移变换后雅可比行列式仍是 $r$。
步骤 2/7
目标：计算第一个积分 (x+y) 的变换形式
被积函数 $x+y = (\frac{1}{2}+r\cos\theta)+(\frac{1}{2}+r\sin\theta)=1+r(\cos\theta+\sin\theta)$。因此积分化为 $\iint_D (x+y)\,dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r\,[1+r(\cos\theta+\sin\theta)]\,dr$。
公式：x+y = 1+r(\cos\theta+\sin\theta)
提示：注意 $x+y$ 的表达式要正确代入。
步骤 3/7
目标：计算第一个积分的值
先对 $r$ 积分：$\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r\,dr = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$；$\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r^2\,dr = \frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}$。再对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = 0$。所以 $\iint_D (x+y)\,dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \cdot \frac{1}{4} = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$。
公式：\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = \int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0
提示：注意 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 在一个周期内积分为零，简化计算。
步骤 4/7
目标：计算第二个积分 xy 的变换形式
被积函数 $xy = \left(\frac{1}{2}+r\cos\theta\right)\left(\frac{1}{2}+r\sin\theta\right) = \frac{1}{4}+\frac{r}{2}(\cos\theta+\sin\theta)+r^2\cos\theta\sin\theta$。积分化为 $\iint_D xy\,dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r\left[\frac{1}{4}+\frac{r}{2}(\cos\theta+\sin\theta)+r^2\cos\theta\sin\theta\right] dr$。
公式：xy = \frac{1}{4}+\frac{r}{2}(\cos\theta+\sin\theta)+r^2\cos\theta\sin\theta
提示：展开时注意各项系数。
步骤 5/7
目标：计算第二个积分的值
对 $r$ 积分：$\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{r}{4}\,dr = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$；$\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{r^2}{2}\,dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{24}$；$\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r^3\,dr = \frac{1}{4}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$。对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = 0$；$\int_0^{2\pi} \cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\sin2\theta\,d\theta = 0$。所以 $\iint_D xy\,dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \cdot \frac{1}{16} = 2\pi\cdot\frac{1}{16} = \frac{\pi}{8}$。
公式：\int_0^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0
提示：注意 $\cos\theta\sin\theta$ 的周期积分也为零。
步骤 6/7
目标：计算第三个积分 (x-y) 的变换形式
被积函数 $x-y = (\frac{1}{2}+r\cos\theta)-(\frac{1}{2}+r\sin\theta)=r(\cos\theta-\sin\theta)$。积分化为 $\iint_D (x-y)\,dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r\cdot r(\cos\theta-\sin\theta)\,dr = \int_0^{2\pi} (\cos\theta-\sin\theta)\,d\theta \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r^2\,dr$。
公式：x-y = r(\cos\theta-\sin\theta)
提示：注意 $x-y$ 的常数项抵消，简化了计算。
步骤 7/7
目标：计算第三个积分的值
对 $r$ 积分：$\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} r^2\,dr = \frac{\sqrt{2}}{12}$。对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi} (\cos\theta-\sin\theta)\,d\theta = 0$。所以 $\iint_D (x-y)\,dxdy = 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} = 0$。
公式：\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = \int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0
提示：注意第三个积分结果为0，因为被积函数关于圆心对称。
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