下册 8.1 二重积分 第25题
📝 题目
25．设 $[a]$ 表示 $a$ 的最大整数部分，计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由不等式 $0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2$ 所确定的区域．
（2） $\iint_{x^{2}+y^{2}<16}\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\iint_{D} \sqrt{\left[y-3 x^{2}\right]} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid 3 x^{2} \leqslant y \leqslant 3\right\}$ ．
（4） $\iint_{x^{2}
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）将区域 $D$ 分为 4 个积分区间 $D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}$ ，如图 8.74 所示．当 $(x, y) \in D_{1}$ 时，$[x+y]=0$ ；当 $(x, y) \in D_{2}$ 时，$[x+y]=1$ ；当 $(x, y) \in D_{3}$ 时，$[x+y]=2$ ；当 $(x, y) \in D_{4}$ 时，$[x+y]=3$ 。于是
$$
\iint_{D}[x+y] \mathrm{d} \sigma=\iint_{D_{1}} 0 \cdot \mathrm{~d} \sigma+\iint_{D_{2}} \mathrm{~d} \sigma+\iint_{D_{3}} 2 \mathrm{~d} \sigma+\iint_{D_{4}} 3 \mathrm{~d} \sigma=1 \times \frac{3}{2}+2 \times \frac{3}{2}+3 \times \frac{1}{2}=6
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-154.jpg?height=1037&width=1279&top_left_y=7210&top_left_x=1063}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．74}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-154.jpg?height=1314&width=1368&top_left_y=6913&top_left_x=3322}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．75}
\end{figure}
（2）如图 8.75 所示，用积分域 $D$ 中的分段线 $x^{2}+y^{2}=R^{2}, R=1,2,3$ ，将 $D$ 划分为 4 部分，其中
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}, D_{R+1}=\left\{(x, y) \mid R^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析被积函数和积分区域
被积函数为 $[x+y]$，其中 $[\cdot]$ 表示取整函数。积分区域 $D$ 是正方形 $0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2$。由于 $x+y$ 在 $D$ 上的取值范围是 $[0,4]$，因此 $[x+y]$ 的可能取值为 $0,1,2,3$。需要根据 $x+y$ 的值将 $D$ 划分为若干子区域，在每个子区域上 $[x+y]$ 为常数。
提示：注意取整函数的定义：$[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数。
步骤 2/4
目标：划分区域并确定各区域上的函数值
根据 $x+y$ 的整数部分，将 $D$ 划分为四个子区域：
- $D_1: 0 \leq x+y < 1$，此时 $[x+y]=0$；
- $D_2: 1 \leq x+y < 2$，此时 $[x+y]=1$；
- $D_3: 2 \leq x+y < 3$，此时 $[x+y]=2$；
- $D_4: 3 \leq x+y \leq 4$，此时 $[x+y]=3$。
这些区域由直线 $x+y=1, x+y=2, x+y=3$ 分割而成。
提示：注意边界上的点属于哪个区域：通常取整函数在整数点处取值为该整数，因此边界应包含在较低值的区域中。
步骤 3/4
目标：计算各子区域的面积
计算每个子区域的面积：
- $D_1$ 是左下角的小三角形，面积为 $\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$；
- $D_2$ 是梯形，面积为 $\frac{1}{2} \times (1+2) \times 1 = \frac{3}{2}$；
- $D_3$ 是梯形，面积为 $\frac{1}{2} \times (2+1) \times 1 = \frac{3}{2}$；
- $D_4$ 是右上角的小三角形，面积为 $\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$。
注意总面积 $4$，验证：$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=4$。
公式：梯形面积公式：$S = \frac{1}{2}(a+b)h$
提示：注意梯形的高为1，上底和下底的长度需要根据直线与边界的交点确定。
步骤 4/4
目标：计算二重积分
由于在每个子区域上被积函数为常数，积分等于常数乘以该区域面积：
$$\iint_D [x+y] \, dxdy = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + 3 + \frac{3}{2} = 6.$$
公式：$$\iint_D c \, d\sigma = c \cdot \text{Area}(D)$$
提示：注意不要漏掉任何区域，且常数乘以面积时单位要一致。
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