下册 8.1 二重积分 第24题
📝 题目
24．计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（2） $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, y \leqslant \mathrm{e}^{x}, \\ 0, y>\mathrm{e}^{x}\end{array}, D=[0,1] \times[0, \mathrm{e}]\right.$ ．
（3）$I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1-x-y, x+y \leqslant 1, \\ 0, x+y>1,\end{array} \quad D\right.$ 为 $\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4）$I=\iint_{D} \min \left\{x^{2} y, 2\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=[0,4] \times[0,3]$ ．
（5）$I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \max (x, y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
解题过程：
（1）区域 $D$ 的图形如图8．70 所示，$D=D_{1}+D_{2}$ ，其中
$$
D_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant x\}, D_{2}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x \leqslant y \leqslant 1\} .
$$
又 $\mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x^{2}},(x, y) \in D_{1}, \text { 于是 } \\ \mathrm{e}^{y^{2}},(x, y) \in D_{2},\end{array}\right.$
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D_{1}} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{2}} \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} x \\
& =2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x=\left.\mathrm{e}^{x^{2}}\right|_{0} ^{1}=\mathrm{e}-1
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-153.jpg?height=1058&width=1030&top_left_y=2058&top_left_x=1353}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．70}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-153.jpg?height=1500&width=1010&top_left_y=1588&top_left_x=3446}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.71}
\end{figure}
（2）如图8．71所示，用积分域 $D$ 中的分段线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 将 $D$ 划分为 $D_{1}, D_{2}$ 两部分，其中
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant \mathrm{e}^{x}, 0 \leqslant x \leqslant 1\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \mid \mathrm{e}^{x}
📋 详细解题步骤
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