下册 8.1 二重积分 第23题
📝 题目
23．计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D} \sin |x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．
（2） $\iint_{\substack{0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．66所示，用积分域 $D$ 中的分段线 $x-y=0$ 将 $D$ 划分为 $D_{1}, D_{2}$ 两部分，其中 $\displaystyle D_{1}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：划分积分区域
对于积分 $\iint_{D} \sin |x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$，其中 $D=[0,\frac{\pi}{2}]\times[0,\frac{\pi}{2}]$。由于被积函数含有绝对值，需根据 $x-y$ 的符号去掉绝对值。用直线 $x=y$ 将区域 $D$ 划分为两部分：$D_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le x, 0\le x\le \frac{\pi}{2}\}$ 和 $D_2=\{(x,y)\mid x
提示：注意 $D_2$ 也可表示为 $\{(x,y)\mid 0\le x\le y, 0\le y\le \frac{\pi}{2}\}$，但需小心积分限的对应。
步骤 2/6
目标：去掉绝对值并转化积分
在 $D_1$ 上，$x-y\ge 0$，故 $\sin|x-y|=\sin(x-y)$；在 $D_2$ 上，$x-y<0$，故 $\sin|x-y|=\sin(y-x)$。于是积分化为：
$$\iint_{D_1}\sin(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint_{D_2}\sin(y-x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
提示：注意 $\sin(y-x)=-\sin(x-y)$，但此处直接使用 $\sin(y-x)$ 更简单。
步骤 3/6
目标：化为累次积分
将二重积分化为累次积分：
$$\iint_{D_1}\sin(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}x\int_0^x\sin(x-y)\mathrm{d}y,$$
$$\iint_{D_2}\sin(y-x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}x\int_x^{\frac{\pi}{2}}\sin(y-x)\mathrm{d}y.$$
提示：注意 $D_2$ 的积分次序：先对 $y$ 积分，$y$ 从 $x$ 到 $\frac{\pi}{2}$，再对 $x$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 4/6
目标：计算内层积分
计算第一个内层积分：
$$\int_0^x\sin(x-y)\mathrm{d}y=\left[\cos(x-y)\right]_{y=0}^{y=x}=\cos0-\cos x=1-\cos x.$$
计算第二个内层积分：
$$\int_x^{\frac{\pi}{2}}\sin(y-x)\mathrm{d}y=\left[-\cos(y-x)\right]_{y=x}^{y=\frac{\pi}{2}}=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos0=-\sin x+1=1-\sin x.$$
公式：$$\int \sin(ax+b)\mathrm{d}x=-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C$$
提示：注意 $\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin x$，以及符号变化。
步骤 5/6
目标：合并积分并计算
原积分 = $\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos x)\mathrm{d}x + \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)\mathrm{d}x$。
计算：
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos x)\mathrm{d}x = \left[x-\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}-1,$$
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)\mathrm{d}x = \left[x+\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}+0-1 = \frac{\pi}{2}-1.$$
总和为 $\pi-2$。
提示：注意 $\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x$，$\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x$。
步骤 6/6
目标：对称性简化（可选）
注意到 $D_1$ 和 $D_2$ 关于 $y=x$ 对称，且被积函数在对称点处相等，因此两个积分相等。故原积分 = $2\iint_{D_1}\sin(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos x)\mathrm{d}x = \pi-2$。
提示：利用对称性可减少计算量，但需确认被积函数对称性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。