下册 8.1 二重积分 第22题
📝 题目
22．计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D}| | x+y|-2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。延安大学 2001）
（2） $\iint_{D} \sqrt{|x-|y||} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y): 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（3） $\iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由 $\displaystyle y=x, y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $y=-x, x+y=2, x+y=-2$ 共 3 条隐含边界把积分区间从上到下划分为 $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ ，如图8．63所示．
当 $(x, y) \in D_{1}$ 时，$||x+y|-2|=x+y-2$ ；
当 $(x, y) \in D_{2}$ 时，$||x+y|-2|=2-(x+y)$ ；
当 $(x, y) \in D_{3}$ 时，$||x+y|-2|=x+y+2$ ．
于是 $\quad \iint_{D} \| x+y|-2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iint_{D_{1}}(x+y-2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{2}}(2-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{3}}(x+y+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-149.jpg?height=1196&width=850&top_left_y=6561&top_left_x=4600}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．63}
\end{figure}
$$
\begin{aligned}
& =\iint_{D_{1}}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-2 \iint_{D_{1}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+2 \iint_{D_{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-\iint_{D_{2}}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{3}}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+2 \iint_{D_{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{16}{3}-4+2 \cdot 4-4+\frac{4}{3}+4=\frac{32}{3} .
\end{aligned}
$$
（2）如图8．64 所示，因为区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，被积函数关于 $y$ 是偶函数，所以
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \sqrt{|x-|y||} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =2 \iint_{\substack{0\frac{\pi}{2}\right\} .
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D_{1}}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{2}}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\frac{\pi}{2}-y} \cos (x+y) \mathrm{d} x+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\frac{\pi}{2}-x}^{x}(-\cos (x+y)) \mathrm{d} y \\
& =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-\sin 2 y) \mathrm{d} y+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin 2 x) \mathrm{d} x \\
& =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin 2 x) \mathrm{d} x=\left.\left(x+\frac{1}{2} \cos 2 x\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：分析被积函数，划分积分区域
被积函数为 $||x+y|-2|$，需要根据 $x+y$ 的值去掉绝对值。令 $t=x+y$，则 $|t-2|$ 在 $t=2$ 处变号，而 $|t|$ 在 $t=0$ 处变号。因此，三条直线 $x+y=0$，$x+y=2$，$x+y=-2$ 将区域 $D$ 分成三个子区域 $D_1, D_2, D_3$，如图所示。
提示：注意绝对值嵌套的处理：先内层后外层。
步骤 2/10
目标：确定各子区域上被积函数的表达式
在 $D_1$ 中，$x+y \ge 2$，故 $||x+y|-2| = x+y-2$；在 $D_2$ 中，$0 \le x+y \le 2$，故 $||x+y|-2| = 2-(x+y)$；在 $D_3$ 中，$x+y \le 0$，故 $||x+y|-2| = |-(x+y)-2| = |x+y+2| = x+y+2$（因为 $x+y+2 \ge 0$）。
提示：注意 $D_3$ 中 $x+y+2$ 非负，可直接去掉绝对值。
步骤 3/10
目标：将积分分解为三个子区域上的积分之和
原积分 $I = \iint_{D_1} (x+y-2) \,dx\,dy + \iint_{D_2} (2-x-y) \,dx\,dy + \iint_{D_3} (x+y+2) \,dx\,dy$。
提示：注意积分区域不重叠，且覆盖整个 $D$。
步骤 4/10
目标：计算各子区域的积分
先计算 $\iint_{D_1} (x+y) \,dx\,dy$ 和 $\iint_{D_1} \,dx\,dy$ 等。利用对称性和几何意义：$D_1$ 是梯形，$D_2$ 是正方形减去两个三角形，$D_3$ 是三角形。具体计算：$\iint_{D_1} (x+y) \,dx\,dy = \frac{16}{3}$，$\iint_{D_1} \,dx\,dy = 2$，$\iint_{D_2} \,dx\,dy = 4$，$\iint_{D_2} (x+y) \,dx\,dy = 4$，$\iint_{D_3} (x+y) \,dx\,dy = \frac{4}{3}$，$\iint_{D_3} \,dx\,dy = 2$。
提示：注意积分限的确定，避免计算错误。
步骤 5/10
目标：合并结果得到最终答案
代入得 $I = (\frac{16}{3} - 2\cdot2) + (2\cdot4 - 4) + (\frac{4}{3} + 2\cdot2) = \frac{16}{3} - 4 + 8 - 4 + \frac{4}{3} + 4 = \frac{32}{3}$。
提示：注意正负号，避免加减错误。
步骤 6/10
目标：利用对称性简化第二题
区域 $D=\{0\le x\le 2, -1\le y\le 1\}$ 关于 $x$ 轴对称，被积函数 $\sqrt{|x-|y||}$ 关于 $y$ 是偶函数，因此积分等于 $2$ 倍上半区域 $0\le y\le 1$ 的积分。
提示：注意 $|y|$ 的处理，利用对称性减少计算量。
步骤 7/10
目标：去掉绝对值，分区域积分
在上半区域，$|y|=y$，被积函数为 $\sqrt{|x-y|}$。再根据 $x$ 与 $y$ 的大小关系，将区域分为 $x\ge y$ 和 $x
提示：注意积分次序：先对 $x$ 积分，再对 $y$。
步骤 8/10
目标：计算积分得到结果
计算内层积分：$\int_y^2 \sqrt{x-y}\,dx = \frac{2}{3}(2-y)^{3/2}$，$\int_0^y \sqrt{y-x}\,dx = \frac{2}{3} y^{3/2}$。然后对 $y$ 积分：$\frac{4}{3} \int_0^1 (2-y)^{3/2}\,dy = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} (2^{5/2} - 1^{5/2}) = \frac{8}{15}(4\sqrt{2}-1)$，$\frac{4}{3} \int_0^1 y^{3/2}\,dy = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15}$。相加得 $\frac{8}{15}(4\sqrt{2}-1+1) = \frac{32\sqrt{2}}{15}$。
公式：$\int \sqrt{u}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2}$
提示：注意 $(2-y)^{3/2}$ 的积分限代入时小心计算。
步骤 9/10
目标：分析第三题被积函数，划分区域
被积函数 $|\cos(x+y)|$ 在 $x+y = \frac{\pi}{2}$ 处变号。区域 $D$ 由 $y=0, y=x, x=\frac{\pi}{2}$ 围成，直线 $x+y=\frac{\pi}{2}$ 将 $D$ 分成 $D_1$（$x+y \le \frac{\pi}{2}$）和 $D_2$（$x+y > \frac{\pi}{2}$）。在 $D_1$ 中 $\cos(x+y)\ge 0$，在 $D_2$ 中 $\cos(x+y)\le 0$。
提示：注意 $\cos$ 的符号变化。
步骤 10/10
目标：将积分分解并计算
原积分 $I = \iint_{D_1} \cos(x+y)\,dx\,dy + \iint_{D_2} (-\cos(x+y))\,dx\,dy$。选择积分次序：$D_1$ 用先 $x$ 后 $y$，$D_2$ 用先 $y$ 后 $x$。$D_1$：$0\le y\le \frac{\pi}{4}$，$y\le x\le \frac{\pi}{2}-y$；$D_2$：$\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{\pi}{2}$，$\frac{\pi}{2}-x\le y\le x$。计算得 $\iint_{D_1} \cos(x+y)\,dx\,dy = \int_0^{\pi/4} dy \int_y^{\pi/2-y} \cos(x+y)\,dx = \int_0^{\pi/4} (1-\sin 2y)\,dy = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$，$\iint_{D_2} (-\cos(x+y))\,dx\,dy = \int_{\pi/4}^{\pi/2} dx \int_{\pi/2-x}^{x} (-\cos(x+y))\,dy = \int_{\pi/4}^{\pi/2} (1-\sin 2x)\,dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$。相加得 $I = \frac{\pi}{2} - 1$。
公式：$\int \cos(u)\,du = \sin u$
提示：注意积分限的确定，尤其是 $D_2$ 中 $y$ 的下限。
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