下册 8.1 二重积分 第21题
📝 题目
21．计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y):|x|+|y| \leqslant 1\}$ ．
（2） $\iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 。
（3） $\iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为矩形区域 $\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4） $\iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（5） $\iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为矩形区域 $\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（6） $\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D:\{(x, y)| | x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。
（7） $\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D:\{(x, y) \| x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（8） $\iint_{D}|x+y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（9） $\iint_{D}|3 x-4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D:[0,1] \times[0,1]$ ．
（10） $\iint_{D}|x+2 y-1| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（11） $\iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
分析：绝对值函数，分段函数，取整函数， $\max (), \min ()$ 往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由对称性得
$$
\iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=4 \iint_{\substack{x+y<1 \\ x, y>0}} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=4 \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} y \mathrm{~d} y=4 \int_{0}^{1} x \frac{(1-x)^{2}}{2} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{1} x(1-x)^{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{6}
$$
（2）如图 8.53 所示，记 $D_{1}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x^{2} \leqslant y \leqslant 1\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant x^{2}\right\}$ ．
$$
\begin{aligned}
\iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D_{1}}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{2}}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} y=\frac{4}{15}+\frac{1}{10}=\frac{11}{30}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-146.jpg?height=1017&width=1071&top_left_y=6243&top_left_x=1326}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．53}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-146.jpg?height=954&width=1147&top_left_y=6306&top_left_x=3322}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．54}
\end{figure}
（3）如图8．54所示，用积分域 $D$ 中的分段线 $y=x^{2}$ 将 $D$ 划分为 $D_{1}, D_{2}$ 两部分，其中
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2} \leqslant y \leqslant 1,-1 \leqslant x \leqslant 1\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x^{2},-1 \leqslant x \leqslant 1\right\}
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D_{1}}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\iint_{D_{2}}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} y-\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} y=\frac{11}{15} .
\end{aligned}
$$
（4）如图8．55所示，用积分域 $D$ 中的分段线 $x=y^{2}$ 将 $D$ 划分为 $D_{1}, D_{2}$ 两部分，其中
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid y^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析对称性，简化积分区域
由于被积函数 $|xy|$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴均对称，且积分区域 $D$ 关于坐标轴对称，因此积分值等于第一象限部分积分的4倍。第一象限内 $x\ge0, y\ge0$，且 $|x|+|y|\le1$ 即 $x+y\le1$，故 $|xy|=xy$。
公式：对称性：$\iint_D |xy|\,dxdy = 4\iint_{D_1} xy\,dxdy$，其中 $D_1=\{x\ge0,y\ge0,x+y\le1\}$
提示：注意对称性成立的条件：积分区域对称且被积函数偶对称。
步骤 2/4
目标：化为累次积分
将二重积分化为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分：$4\int_0^1 x\,dx\int_0^{1-x} y\,dy$。
公式：累次积分：$\iint_{D_1} f(x,y)\,dxdy = \int_a^b dx\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy$
提示：确定积分限时，注意 $y$ 的范围是从 $0$ 到 $1-x$。
步骤 3/4
目标：计算内层积分
先对 $y$ 积分：$\int_0^{1-x} y\,dy = \frac{(1-x)^2}{2}$。
公式：$\int y\,dy = \frac{y^2}{2}$
提示：注意积分上限是 $1-x$，代入时小心。
步骤 4/4
目标：计算外层积分
代入后得 $4\int_0^1 x\cdot\frac{(1-x)^2}{2}\,dx = 2\int_0^1 x(1-x)^2\,dx$。展开并积分：$2\int_0^1 (x - 2x^2 + x^3)\,dx = 2\left[\frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\left(\frac12 - \frac23 + \frac14\right) = 2\cdot\frac{1}{12} = \frac16$。
公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$
提示：计算定积分时，代入上下限要仔细。
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