下册 8.1 二重积分 第36题
📝 题目
36．交换下列积分的积分顺序．
（1）$I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ 。西安交大 1998）
（2） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{2 y}}^{\sqrt{8-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{x^{2}}{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{8-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 。西安交大 2010）
（4） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（5） $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+x}^{x+1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（6） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} y \int_{0}^{3-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 。
（7） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（8） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（桂林电子科大 2009）
（10） $\displaystyle \int_{-2}^{0} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2+x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2-x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 8．92，积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid \sqrt{y} \leqslant x \leqslant \sqrt{2-y^{2}}, 0 \leqslant y \leqslant 1\right\}$ 可表示为 $D=D_{1} \cup D_{2}$ ，其中
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{2-x^{2}}, 1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}\right\}
$$
于是
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-168.jpg?height=1099&width=1202&top_left_y=3246&top_left_x=1105}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．92}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-168.jpg?height=1113&width=1209&top_left_y=3239&top_left_x=3412}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．93}
\end{figure}
（2）如图 8．93，积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid \sqrt{2 y} \leqslant x \leqslant \sqrt{8-y^{2}}, 0 \leqslant y \leqslant 2\right\}$ 可表示为 $D=D_{1} \cup D_{2}$ ，其中
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{2} x^{2}\right., 0 \leqslant x \leqslant 2\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{8-x^{2}}, 2 \leqslant x \leqslant 2 \sqrt{2}\right\} .
$$
因此交换积分次序后得
$$
\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{2 y}}^{\sqrt{8-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{x^{2}}{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{8-x^{2}}} f(x, \dot{y}) \mathrm{d} y
$$
（3）如图8．93，积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid \sqrt{2 y} \leqslant x \leqslant \sqrt{8-y^{2}}, 0 \leqslant y \leqslant 2\right\}$ 可表示为 $D=D_{1} \cup D_{2}$ ，其中
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{2} x^{2}\right., 0 \leqslant x \leqslant 2\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{8-x^{2}}, 2 \leqslant x \leqslant 2 \sqrt{2}\right\} .
$$
因此交换积分次序得
$$
\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{x^{2}}{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{8-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{2 y}}^{\sqrt{8-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x
$$
（4）如图 8．94，积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x \leqslant y \leqslant \sqrt{2-x^{2}}, 0 \leqslant x \leqslant 1\right\}$ ，可表示为 $D=D_{1} \cup D_{2}$ ，其中
$$
D_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant y, 0 \leqslant y \leqslant 1\}, D_{2}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2-y^{2}}, 1 \leqslant y \leqslant 2\right\} .
$$
于是
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-169.jpg?height=1210&width=1362&top_left_y=980&top_left_x=1215}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．94}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-169.jpg?height=1431&width=1196&top_left_y=759&top_left_x=3453}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．95}
\end{figure}
（5）如图 8．95，积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+x \leqslant y \leqslant x+1,-1 \leqslant x \leqslant 1\right\}$ 可表示为 $D=D_{1} \cup D_{2}$ ，其中
$$
\begin{aligned}
D_{1} & =\left\{(x, y) \left\lvert\,-\frac{1}{2}(1+\sqrt{4 y+1}) \leqslant x \leqslant-\frac{1}{2}(1-\sqrt{4 y+1})\right.,-\frac{1}{4} \leqslant y \leqslant 0\right\}, \\
D_{2} & =\left\{(x, y) \left\lvert\, y-1 \leqslant x \leqslant-\frac{1}{2}(1-\sqrt{4 y+1})\right., 0 \leqslant y \leqslant 2\right\} .
\end{aligned}
$$
于是
$$
\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+x}^{x+1} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{-\frac{1}{4}}^{0} \mathrm{~d} y \int_{-\frac{1}{2}(1+\sqrt{4 y+1})}^{-\frac{1}{2}(1-\sqrt{4 y+1})} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y-1}^{-\frac{1}{2}(1-\sqrt{4 y+1})} f(x, y) \mathrm{d} x .
$$
（6）如图8．96 所示，积分区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2, \frac{x}{2} \leqslant y \leqslant 3-x\right\}$ 可表示为 $D=D_{1}+D_{2}$ ，其中
$$
D_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 2 y\}, D_{2}=\{(x, y) \mid 1 \leqslant y \leqslant 3,0 \leqslant x \leqslant 3-y\} .
$$
于是
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} y \int_{0}^{3-y} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\frac{x}{2}}^{3-x} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-169.jpg?height=1431&width=1382&top_left_y=5235&top_left_x=1250}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.96}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-169.jpg?height=1085&width=1141&top_left_y=5567&top_left_x=3494}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.97}
\end{figure}
（7）如图8．97，积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x^{2} \leqslant y \leqslant x\right\}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1, y \leqslant x \leqslant \sqrt{y}\}$ ，所以
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x
$$
（8）如图 8．98，积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant y\}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x \leqslant y \leqslant 1\}$ ，所以
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-170.jpg?height=1044&width=1141&top_left_y=1395&top_left_x=1305}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．98}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-170.jpg?height=1652&width=1037&top_left_y=787&top_left_x=3536}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．99}
\end{figure}
（9）如图 8.99 所示，积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2, x \leqslant y \leqslant 2 x\}$ 可表示为 $D=D_{1} \cup D_{2}$ ，其中
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} y \leqslant x \leqslant y\right., 0 \leqslant y \leqslant 2\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} y \leqslant x \leqslant 2\right.,2 \leqslant y \leqslant 4\right\} .
$$
于是
$$
\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2} y}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2} y}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x
$$
（10）如图8．100所示，
$$
\begin{aligned}
& D_{x}:\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{2+x}{2} \leqslant y \leqslant \sqrt{4-x^{2}}\right.,-2 \leqslant x \leqslant 0\right\} \\
& \cup\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{2-x}{2} \leqslant y \leqslant \sqrt{4-x^{2}}\right., 0 \leqslant x \leqslant 2\right\} . \\
& D_{y}:\left\{(x, y) \mid-\sqrt{4-y^{2}} \leqslant x \leqslant 2 y-2,0 \leqslant y \leqslant 1\right\} \\
& \cup\left\{(x, y) \mid 2-2 y \leqslant x \leqslant \sqrt{4-y^{2}}, 0 \leqslant y \leqslant 1\right\} \\
& \cup\left\{(x, y) \mid-\sqrt{4-y^{2}} \leqslant x \leqslant \sqrt{4-y^{2}}, 1 \leqslant y \leqslant 2\right\} .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-170.jpg?height=1009&width=1610&top_left_y=3895&top_left_x=3923}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．100}
\end{figure}
于是
$$
\begin{aligned}
& \int_{-2}^{0} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2+x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2-x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y \\
= & \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{2 y-2} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{2-2 y}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分区域
原积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ 的积分区域 $D$ 由 $y$ 从 $0$ 到 $1$，对于每个 $y$，$x$ 从 $\sqrt{y}$ 到 $\sqrt{2-y^{2}}$ 描述。画出区域：$x=\sqrt{y}$ 即 $y=x^2$（$x\ge0$），$x=\sqrt{2-y^2}$ 即 $x^2+y^2=2$（$x\ge0$），两曲线交于 $(1,1)$。区域 $D$ 由 $x$ 轴、$y$ 轴、抛物线 $y=x^2$ 和圆 $x^2+y^2=2$ 围成，$0\le y\le1$。
提示：注意 $x$ 的下限 $\sqrt{y}$ 对应抛物线 $y=x^2$ 的右支，上限 $\sqrt{2-y^2}$ 对应圆的右半部分。
步骤 2/4
目标：将区域按 $x$ 分块
为交换积分次序，需将 $D$ 表示为 $x$ 型区域。$x$ 的范围从 $0$ 到 $\sqrt{2}$。当 $0\le x\le1$ 时，$y$ 从 $0$ 到 $x^2$（抛物线下方）；当 $1\le x\le\sqrt{2}$ 时，$y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{2-x^2}$（圆内）。因此 $D=D_1\cup D_2$，其中 $D_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le x^2, 0\le x\le 1\}$，$D_2=\{(x,y)\mid 0\le y\le \sqrt{2-x^2}, 1\le x\le \sqrt{2}\}$。
提示：分界点 $x=1$ 由 $x^2=\sqrt{2-x^2}$ 解得，即 $x=1$。
步骤 3/4
目标：写出交换次序后的积分
根据分块，交换次序后积分化为：
$$I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y.$$
提示：注意第二项 $x$ 上限为 $\sqrt{2}$，不是 $2$。
步骤 4/4
目标：检查结果
验证：原积分先 $y$ 后 $x$ 的次序正确，区域覆盖无遗漏无重复。
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