下册 8.1 二重积分 第35题
📝 题目
35．计算下列累次积分．
（1） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{y} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y$ ．
（7） $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\int_{0}^{+x} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）区域 $D$ 如图 8.86 所示：$D: 0 \leqslant x \leqslant y, 0 \leqslant y \leqslant 1$ ．
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} y \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)
$$
（2）区域 $D$ 与（1）相同．
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y & =\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{y^{3}}{3} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\frac{1}{6} \int_{0}^{1} y^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d}\left(y^{2}\right)\left(\text { 令 } y^{2}=u\right) \\
& =\frac{1}{6} \int_{0}^{1} u \mathrm{e}^{-u} \mathrm{~d} u=-\left.\frac{1}{6} u \mathrm{e}^{-u}\right|_{0} ^{1}+\frac{1}{6} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-u} \mathrm{~d} u=\frac{1}{6}-\frac{1}{3 \mathrm{e}}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-166.jpg?height=1085&width=1155&top_left_y=5235&top_left_x=1339}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.86}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-166.jpg?height=1079&width=1169&top_left_y=5235&top_left_x=3356}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.87}
\end{figure}
（3）区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant y, 0 \leqslant y \leqslant 2$ ，如图 8.87 所示．
$$
\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2} y \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}\left(1-\mathrm{e}^{-4}\right)
$$
（4）区域 $D$ 如图 8.88 所示． $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x=\left.\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{\mathrm{e}-1}{2}$ ．
（5）区域 $D$ 如图8．88所示．
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{y} \sin x\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{y} \sin x\right) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1}\left(x \mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{x} \sin x-\sin x\right) \mathrm{d} x
$$
$$
=\frac{-1}{2 e}+\cos 1+\frac{e}{2}(\sin 1-\cos 1) .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-167.jpg?height=1071&width=1155&top_left_y=1478&top_left_x=897}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．88}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-167.jpg?height=1292&width=2163&top_left_y=1257&top_left_x=2776}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．89}
\end{figure}
（6）区域 $D$ 如图8．89所示．
$$
\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y=\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{y^{2}} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=\left.\left(-y \mathrm{e}^{-y}\right)\right|_{1} ^{2}=-2 \mathrm{e}^{-2}+\mathrm{e}^{-1} .
$$
（7）区域 $D$ 如图8．90所示．
$$
\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} y=\int_{\frac{1}{2}}^{1} x\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=\frac{3}{8} \mathrm{e}-\frac{1}{2} \sqrt{\mathrm{e}} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-167.jpg?height=1210&width=1168&top_left_y=4213&top_left_x=1360}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．90}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-167.jpg?height=1169&width=1016&top_left_y=4254&top_left_x=3467}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．91}
\end{figure}
（8）区域 $D$ 如图 8.91 所示． $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{x}^{2 x} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{y} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} y \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\frac{1}{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：交换积分次序
原积分区域由 $0 \le x \le 1$, $x \le y \le 1$ 描述，即 $0 \le x \le y \le 1$。交换次序后：$0 \le y \le 1$, $0 \le x \le y$。因此 $$\int_0^1 dx \int_x^1 e^{-y^2} dy = \int_0^1 dy \int_0^y e^{-y^2} dx.$$
公式：交换积分次序：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dydx$
提示：注意积分区域边界的正确描述，画出区域图辅助理解。
步骤 2/4
目标：计算内层积分
内层积分对 $x$ 进行，$e^{-y^2}$ 视为常数：$$\int_0^y e^{-y^2} dx = e^{-y^2} \cdot y = y e^{-y^2}.$$
公式：$\int_a^b c \, dx = c(b-a)$
提示：注意积分变量是 $x$，$y$ 视为常数。
步骤 3/4
目标：计算外层积分
外层积分：$$\int_0^1 y e^{-y^2} dy.$$ 令 $u = y^2$，则 $du = 2y dy$，$y dy = \frac{1}{2} du$，积分限 $y=0 \to u=0$，$y=1 \to u=1$。于是 $$\int_0^1 y e^{-y^2} dy = \frac{1}{2} \int_0^1 e^{-u} du = \frac{1}{2} \left[-e^{-u}\right]_0^1 = \frac{1}{2}(1 - e^{-1}).$$
公式：$\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$
提示：换元时注意积分限的对应变化。
步骤 4/4
目标：写出最终结果
因此，原积分值为 $\frac{1}{2}(1 - e^{-1})$。
提示：结果可以化简为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2e}$。
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拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。