下册 8.1 二重积分 第34题
📝 题目
34．计算下列累次积分。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} x \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{~d} y \int_{y-\pi}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{\cos \frac{y}{x} \cdot \sin x^{2}}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．81所示，
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y \int_{y^{2}}^{y} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1}(1-y) \sin y \mathrm{~d} y=1-\sin 1 .
$$
（2）如图8．81所示，
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \frac{\cos y}{y} \mathrm{~d} y \int_{y^{2}}^{y} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1}(1-y) \cos y \mathrm{~d} y=1-\cos 1
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-164.jpg?height=968&width=1071&top_left_y=6803&top_left_x=4517}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.81}
\end{figure}
（3）如图8．82所示， $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} x \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} x \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \sin y \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-165.jpg?height=1133&width=1127&top_left_y=1844&top_left_x=1381}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．82}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-165.jpg?height=1665&width=1058&top_left_y=1312&top_left_x=3522}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．83}
\end{figure}
（4）如图8．83所示， $\displaystyle \int_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{~d} y \int_{y-\pi}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{\pi}^{\pi+x} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x=2$ ．
（5）$D=D_{1}+D_{2}$ ，其中 $D_{1}=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2, \sqrt{x} \leqslant y \leqslant x\}, D_{2}=\{(x, y) \mid 2 \leqslant x \leqslant 4, \sqrt{x} \leqslant y \leqslant 2\}$ 。
如图8．84所示．
$$
\begin{aligned}
& \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y \\
& =\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{y^{2}} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{2} \frac{2 y}{\pi}\left(\cos \frac{\pi}{2}-\cos \frac{\pi y}{2}\right) \mathrm{d} y \\
& =-\frac{2}{\pi} \int_{1}^{2} y \cos \frac{\pi y}{2} \mathrm{~d} y=-\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2} \int_{1}^{2} y \mathrm{~d} \sin \frac{\pi y}{2} \\
& =-\left.\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\left(y \sin \frac{\pi y}{2}-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi y}{2}\right)\right|_{1} ^{2}=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2} \cdot\left(1-\frac{2}{\pi}\right) .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-165.jpg?height=1286&width=2163&top_left_y=5801&top_left_x=1049}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．84}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-165.jpg?height=1120&width=1030&top_left_y=5967&top_left_x=3881}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．85}
\end{figure}
（6）如图 8.85 所示，
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{\cos \frac{y}{x} \cdot \sin x^{2}}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \cdot \frac{\sin x^{2}}{\sin x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} \cos \frac{y}{x} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \cdot \frac{\sin x^{2}}{\sin x} x \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} x \cdot \sin x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：交换积分次序
原积分区域由 $0 \le x \le 1$，$x \le y \le \sqrt{x}$ 描述。画出区域，发现也可用 $0 \le y \le 1$，$y^2 \le x \le y$ 描述。因此交换次序得：
$$\int_0^1 dx \int_x^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} dy = \int_0^1 \frac{\sin y}{y} dy \int_{y^2}^y dx.$$
公式：交换积分次序：$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b dy \int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y) dx$
提示：注意积分限的对应关系，画出积分区域图辅助理解。
步骤 2/4
目标：计算内层积分
内层积分 $\int_{y^2}^y dx = y - y^2$，代入得：
$$\int_0^1 \frac{\sin y}{y} (y - y^2) dy = \int_0^1 (1 - y) \sin y dy.$$
公式：$\int_{a}^{b} dx = b-a$
提示：注意 $\frac{\sin y}{y}$ 在 $y=0$ 处可去奇点，积分收敛。
步骤 3/4
目标：计算定积分
计算 $\int_0^1 (1-y)\sin y dy$。分部积分：
$$\int_0^1 \sin y dy - \int_0^1 y\sin y dy = [-\cos y]_0^1 - \left( [-y\cos y]_0^1 + \int_0^1 \cos y dy \right) = (1-\cos 1) - ( -\cos 1 + \sin 1 ) = 1 - \sin 1.$$
公式：分部积分：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意符号处理，$\int y\sin y dy$ 用分部积分时 $u=y, dv=\sin y dy$。
步骤 4/4
目标：最终结果
因此原积分值为 $1 - \sin 1$。
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