下册 8.1 二重积分 第42题
📝 题目
42．证明下列各题．
（1）设函数 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，证明：对任一实数 $x$ ，有
$$
\int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{2 u} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t+\int_{x}^{2 x} f(t)\left(x-\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t . }
$$
（2）试证明：（1） $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=1$ ；（2）设 $u=x y, v=y$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{1} u^{u} \ln u \mathrm{~d} u$ 。进一步有 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d} u$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $F(x)=\int_{x}^{2 x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 连续．
记 $\alpha(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{2 u} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u=\int_{0}^{x} F(u) \mathrm{d} u$ ，则左边的导数为 $\alpha^{\prime}(x)=F(x)$ ．
记 $\displaystyle \beta(x)=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t+\int_{x}^{2 x} f(t)\left(x-\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t+x \int_{x}^{2 x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{1}{2} \int_{x}^{2 x} t f(t) \mathrm{d} t$ ，则
$$
\beta^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x f(x)+\int_{x}^{2 x} f(t) \mathrm{d} t+x(f(2 x) \cdot 2-f(x))-\frac{1}{2}(2 x f(2 x) \cdot 2-x f(x))=F(x)
$$
所以 $\alpha^{\prime}(x)=\beta^{\prime}(x)$ 。从而 $\forall x \in \mathbf{R}$ ，有
$$
\int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{2 u} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t+\int_{x}^{2 x} f(t)\left(x-\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t+C .
$$
令 $x=0$ 得 $C=0$ ．故 $\displaystyle \int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{2 u} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t+\int_{x}^{2 x} f(t)\left(x-\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t$ ．
（2） $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \mathrm{e}^{x \ln x}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x}=\mathrm{e}^{0}=1$ ．
设 $u=x y, v=y$ ，则积分区域
$$
D=[0,1] \times[0,1]=\{(u, v) \mid 0 \leqslant u \leqslant 1, u \leqslant v \leqslant 1\}, \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=y=v, \quad J=\frac{1}{v}
$$
于是
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d} u \int_{u}^{1} \frac{1}{v} \mathrm{~d} v=\left.\int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d} u(\ln v)\right|_{u} ^{1}=-\int_{0}^{1} u^{u} \ln u \mathrm{~d} u
$$
由于 $\quad \int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d} u+\int_{0}^{1} u^{u} \ln u \mathrm{~d} u=\int_{0}^{1} u^{u}(\ln u+1) \mathrm{d} u=\int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d}(u \ln u)=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{u \ln u} \mathrm{~d}(u \ln u)=\left.\mathrm{e}^{u \ln u}\right|_{0} ^{1}=0$ ，所以 $\int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d} u=-\int_{0}^{1} u^{u} \ln u \mathrm{~d} u$ ，从而 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d} u$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入辅助函数并求导
令 $F(x)=\int_{x}^{2x} f(t) dt$，则 $F(x)$ 连续。记 $\alpha(x)=\int_{0}^{x} F(u) du$，则 $\alpha'(x)=F(x)$。
公式：$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x} F(u) du = F(x)$
提示：注意积分上限是变量，求导时直接代入上限。
步骤 2/7
目标：对右边表达式求导
记 $\beta(x)=\frac{1}{2}\int_{0}^{x} t f(t) dt + \int_{x}^{2x} f(t)(x-\frac{t}{2}) dt$。将第二项拆开：$x\int_{x}^{2x} f(t) dt - \frac{1}{2}\int_{x}^{2x} t f(t) dt$。求导得：$\beta'(x)=\frac{1}{2}x f(x) + \int_{x}^{2x} f(t) dt + x(2f(2x)-f(x)) - \frac{1}{2}(4x f(2x)-x f(x)) = \int_{x}^{2x} f(t) dt = F(x)$。
公式：莱布尼兹法则：$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} g(t) dt = g(b(x))b'(x)-g(a(x))a'(x)$
提示：注意对含参变量积分求导时，要正确处理上下限的导数。
步骤 3/7
目标：得出两边相差常数
由 $\alpha'(x)=\beta'(x)$ 得 $\alpha(x)=\beta(x)+C$，其中 $C$ 为常数。
提示：导数相等推出函数相差常数，需要验证常数项。
步骤 4/7
目标：确定常数并完成证明
令 $x=0$，则 $\alpha(0)=0$，$\beta(0)=\int_{0}^{0} f(t)(0-\frac{t}{2}) dt=0$，所以 $C=0$。因此等式成立。
提示：代入 $x=0$ 时注意积分上下限均为0，积分值为0。
步骤 5/7
目标：证明极限 $\lim_{x\to 0^+} x^x = 1$
$\lim_{x\to 0^+} x^x = \lim_{x\to 0^+} e^{x\ln x} = e^{\lim_{x\to 0^+} x\ln x}$。由 $\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$，故原极限 $=e^0=1$。
公式：$\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$
提示：注意 $x\ln x$ 是 $0\cdot \infty$ 型，可用洛必达法则或等价无穷小。
步骤 6/7
目标：变量代换化简二重积分
令 $u=xy, v=y$，则 $x=u/v, y=v$，雅可比行列式 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} 1/v & -u/v^2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1/v$。积分区域 $D_{xy}: 0\le x\le1, 0\le y\le1$ 变为 $D_{uv}: 0\le u\le v\le 1$。于是 $\iint_{D_{xy}} (xy)^{xy} dxdy = \int_{0}^{1} u^u du \int_{u}^{1} \frac{1}{v} dv = \int_{0}^{1} u^u (\ln v|_{u}^{1}) du = -\int_{0}^{1} u^u \ln u du$。
公式：二重积分变量代换公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) |J| dudv$
提示：注意雅可比行列式要取绝对值，且积分区域变换要正确。
步骤 7/7
目标：证明两个积分相等
考虑 $\int_{0}^{1} u^u du + \int_{0}^{1} u^u \ln u du = \int_{0}^{1} u^u (\ln u+1) du = \int_{0}^{1} e^{u\ln u} d(u\ln u) = e^{u\ln u}|_{0}^{1} = 0$，所以 $\int_{0}^{1} u^u du = -\int_{0}^{1} u^u \ln u du$。结合上一步，得 $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} (xy)^{xy} dy = \int_{0}^{1} u^u du$。
公式：$\int e^{t} dt = e^t + C$
提示：注意 $u\ln u$ 在 $u=0$ 处的极限为0，所以边界项为0。
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