下册 8.1 二重积分 第43题
📝 题目
43．证明下列结论．
（1）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $2 \int_{a}^{b} f(x)\left(\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．（上海交大；$[a, b]=[0, a]$ ：温州大学 2007，河北工大 2007（ $a=1$ ））
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明： $\int_{0}^{1}\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有二阶连续导数，$f(a)=f^{\prime}(a)=0$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b}(b-x)^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=6 \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y . \text { }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：记 $F(x)=\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(a)=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, F(b)=0$ ，且 $F^{\prime}(x)=-f(x)$ 。从而
$$
2 \int_{a}^{b} f(x)\left(\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=-2 \int_{a}^{b} F^{\prime}(x) \cdot F(x) \mathrm{d} x=-\left.F^{2}(x)\right|_{a} ^{b}=F^{2}(a)-F^{2}(b)=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}
$$
方法 2：交换积分次序得 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{x}^{b} f(y) \mathrm{d} y=\int_{a}^{b} f(y) \mathrm{d} y \int_{a}^{y} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y$ 。则
$$
\begin{aligned}
2 \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{x}^{b} f(y) \mathrm{d} y & =\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{x}^{b} f(y) \mathrm{d} y+\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{x}^{b} f(y) \mathrm{d} y \\
& =\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{x}^{b} f(y) \mathrm{d} y+\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y \\
& =\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} f(y) \mathrm{d} y=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}
\end{aligned}
$$
（2）交换积分顺序得 $\int_{0}^{1}\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\int_{t^{2}}^{\sqrt{t}} f(t) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} t=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{t}-t^{2}\right) f(t) \mathrm{d} t$ 。所以
$$
\int_{0}^{1}\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x
$$
（3） $\int_{a}^{b}(b-x)^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}(b-x)^{3} \mathrm{~d} f^{\prime}(x)=\left.(b-x)^{3} f^{\prime}(x)\right|_{a} ^{b}+3 \int_{a}^{b}(b-x)^{2} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$
$$
=3 \int_{a}^{b}(b-x)^{2} \mathrm{~d} f(x)=\left.(b-x)^{2} f(x)\right|_{a} ^{b}+6 \int_{a}^{b}(b-x) f(x) \mathrm{d} x=6 \int_{a}^{b}(b-x) f(x) \mathrm{d} x
$$
交换积分顺序得 $6 \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y=6 \int_{a}^{b} \mathrm{~d} y \int_{y}^{b} f(y) \mathrm{d} x=6 \int_{a}^{b}(b-y) f(y) \mathrm{d} y=6 \int_{a}^{b}(b-x) f(x) \mathrm{d} x$ 。所以
$$
\int_{a}^{b}(b-x)^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=6 \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：引入辅助函数
令 $F(x)=\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$，则 $F(a)=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$，$F(b)=0$，且 $F'(x)=-f(x)$。
提示：注意 $F(x)$ 是积分上限函数，求导时注意符号。
步骤 2/9
目标：利用分部积分或换元
原积分 $2\int_{a}^{b} f(x)\left(\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x = -2\int_{a}^{b} F'(x) F(x) \mathrm{d} x$。
公式：$F'(x) = -f(x)$
提示：注意负号的处理。
步骤 3/9
目标：计算积分
$-2\int_{a}^{b} F'(x) F(x) \mathrm{d} x = -\left[F^2(x)\right]_{a}^{b} = F^2(a) - F^2(b) = \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^2$。
公式：$\int F' F = \frac{1}{2}F^2$
提示：注意 $F(b)=0$。
步骤 4/9
目标：交换积分次序（方法2）
原积分可写为 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{x}^{b} f(y) \mathrm{d} y$。交换次序得 $\int_{a}^{b} f(y) \mathrm{d} y \int_{a}^{y} f(x) \mathrm{d} x = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y$。
提示：交换次序时注意积分区域：$a \le x \le b, x \le y \le b$ 等价于 $a \le y \le b, a \le x \le y$。
步骤 5/9
目标：合并两个积分
于是 $2\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{x}^{b} f(y) \mathrm{d} y = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{x}^{b} f(y) \mathrm{d} y + \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} f(y) \mathrm{d} y = \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^2$。
提示：注意两个积分相加后，内层积分覆盖了整个区间 $[a,b]$。
步骤 6/9
目标：交换积分次序（第2题）
原积分区域：$0 \le x \le 1$，$x^2 \le t \le \sqrt{x}$。交换次序得 $0 \le t \le 1$，$t^2 \le x \le \sqrt{t}$。于是 $\int_{0}^{1} \left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x = \int_{0}^{1} \left(\int_{t^{2}}^{\sqrt{t}} f(t) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} t = \int_{0}^{1} (\sqrt{t} - t^2) f(t) \mathrm{d} t$。
提示：注意 $t$ 的范围由 $x^2 \le t \le \sqrt{x}$ 和 $0 \le x \le 1$ 确定，需解出 $t$ 的范围。
步骤 7/9
目标：分部积分（第3题）
$\int_{a}^{b} (b-x)^3 f''(x) \mathrm{d} x = \int_{a}^{b} (b-x)^3 \mathrm{d} f'(x) = \left[(b-x)^3 f'(x)\right]_{a}^{b} + 3\int_{a}^{b} (b-x)^2 f'(x) \mathrm{d} x$。由于 $f'(a)=0$，且 $b-x$ 在 $x=b$ 处为0，故第一项为0。
公式：分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意边界条件 $f'(a)=0$ 和 $(b-b)^3=0$。
步骤 8/9
目标：再次分部积分
继续：$3\int_{a}^{b} (b-x)^2 f'(x) \mathrm{d} x = 3\int_{a}^{b} (b-x)^2 \mathrm{d} f(x) = 3\left[(b-x)^2 f(x)\right]_{a}^{b} + 6\int_{a}^{b} (b-x) f(x) \mathrm{d} x$。由于 $f(a)=0$ 且 $(b-b)^2=0$，第一项为0，故原式 $= 6\int_{a}^{b} (b-x) f(x) \mathrm{d} x$。
提示：注意 $f(a)=0$ 的利用。
步骤 9/9
目标：交换积分次序（第3题右边）
右边 $6\int_{a}^{b} \mathrm{d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y$ 交换次序：区域 $a \le x \le b, a \le y \le x$ 等价于 $a \le y \le b, y \le x \le b$，得 $6\int_{a}^{b} \mathrm{d} y \int_{y}^{b} f(y) \mathrm{d} x = 6\int_{a}^{b} (b-y) f(y) \mathrm{d} y = 6\int_{a}^{b} (b-x) f(x) \mathrm{d} x$。
提示：注意交换次序后内层积分对 $x$ 积分，$f(y)$ 视为常数。
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