下册 8.1 二重积分 第48题
📝 题目
48．设 $D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（1）计算 $\displaystyle A=\iint_{D}\left|x y-\frac{1}{4}\right| \mathrm{d} \sigma$ ；（2）设 $z=f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，并满足 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ， $\iint_{D} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$ 。证明：$\exists\left(x^{*}, y^{*}\right) \in D$ 使 $\displaystyle \left|f\left(x^{*}, y^{*}\right)\right| \geqslant \frac{1}{A}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．109所示，用积分域 $D$ 中的分段线 $\displaystyle y=\frac{1}{4 x}$ 将 $D$ 划分为 $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ 三部分，其中
$$
\begin{gathered}
D_{1}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{4}\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{4 x}\right., \frac{1}{4} \leqslant x \leqslant 1\right\}, \\
D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{4 x}
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：划分积分区域
曲线 $xy = \frac{1}{4}$ 将正方形 $D=[0,1]\times[0,1]$ 分成三部分：$D_1$ 为 $0\le x\le \frac{1}{4}, 0\le y\le 1$；$D_2$ 为 $\frac{1}{4}\le x\le 1, 0\le y\le \frac{1}{4x}$；$D_3$ 为 $\frac{1}{4}\le x\le 1, \frac{1}{4x}< y\le 1$。
提示：注意曲线 $xy=\frac{1}{4}$ 在 $x\in[0,\frac{1}{4}]$ 时 $y\ge 1$，因此 $D_1$ 内 $xy\le\frac{1}{4}$。
步骤 2/8
目标：计算绝对值积分
由于在 $D_1$ 和 $D_2$ 上 $xy-\frac{1}{4}\le 0$，在 $D_3$ 上 $xy-\frac{1}{4}\ge 0$，所以
\[
\iint_D \left|xy-\frac{1}{4}\right| d\sigma = \iint_{D_3}\left(xy-\frac{1}{4}\right)dxdy - \iint_{D_2}\left(xy-\frac{1}{4}\right)dxdy - \iint_{D_1}\left(xy-\frac{1}{4}\right)dxdy.
\]
公式：绝对值积分转化为分段积分
提示：注意符号：在 $xy-\frac{1}{4}<0$ 的区域，被积函数为 $-(xy-\frac{1}{4})$。
步骤 3/8
目标：计算 $D_3$ 上的积分
\[
\iint_{D_3}\left(xy-\frac{1}{4}\right)dxdy = \int_{\frac{1}{4}}^1 dx \int_{\frac{1}{4x}}^1 \left(xy-\frac{1}{4}\right) dy.
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_{\frac{1}{4x}}^1 \left(xy-\frac{1}{4}\right) dy = \left[\frac{x}{2}y^2 - \frac{1}{4}y\right]_{y=\frac{1}{4x}}^{y=1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} - \left(\frac{1}{32x} - \frac{1}{16x}\right) = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{32x}.
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_{\frac{1}{4}}^1 \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{32x}\right) dx = \left[\frac{x^2}{4} - \frac{x}{4} + \frac{1}{32}\ln x\right]_{\frac{1}{4}}^1 = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 0\right) - \left(\frac{1}{64} - \frac{1}{16} + \frac{1}{32}\ln\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{64} + \frac{1}{32}\ln 4.
\]
公式：累次积分
提示：注意对数运算：$\ln\frac{1}{4} = -\ln 4$。
步骤 4/8
目标：计算 $D_2$ 上的积分
\[
\iint_{D_2}\left(-xy+\frac{1}{4}\right)dxdy = \int_{\frac{1}{4}}^1 dx \int_0^{\frac{1}{4x}} \left(-xy+\frac{1}{4}\right) dy.
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_0^{\frac{1}{4x}} \left(-xy+\frac{1}{4}\right) dy = \left[-\frac{x}{2}y^2 + \frac{1}{4}y\right]_0^{\frac{1}{4x}} = -\frac{1}{32x} + \frac{1}{16x} = \frac{1}{32x}.
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_{\frac{1}{4}}^1 \frac{1}{32x} dx = \frac{1}{32}\left[\ln x\right]_{\frac{1}{4}}^1 = \frac{1}{32}\ln 4.
\]
公式：累次积分
提示：注意 $D_2$ 上被积函数是 $-(xy-\frac{1}{4})$，即 $-xy+\frac{1}{4}$。
步骤 5/8
目标：计算 $D_1$ 上的积分
\[
\iint_{D_1}\left(-xy+\frac{1}{4}\right)dxdy = \int_0^{\frac{1}{4}} dx \int_0^1 \left(-xy+\frac{1}{4}\right) dy.
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_0^1 \left(-xy+\frac{1}{4}\right) dy = \left[-\frac{x}{2}y^2 + \frac{1}{4}y\right]_0^1 = -\frac{x}{2} + \frac{1}{4}.
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_0^{\frac{1}{4}} \left(-\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right) dx = \left[-\frac{x^2}{4} + \frac{x}{4}\right]_0^{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{64} + \frac{1}{16} = \frac{3}{64}.
\]
公式：累次积分
提示：注意积分限：$x$ 从 $0$ 到 $\frac{1}{4}$。
步骤 6/8
目标：求和得到 $A$
将三部分积分相加：
\[
A = \left(\frac{3}{64} + \frac{1}{32}\ln 4\right) + \frac{1}{32}\ln 4 + \frac{3}{64} = \frac{3}{32} + \frac{1}{16}\ln 4 = \frac{3}{32} + \frac{1}{8}\ln 2 = \frac{1}{8}\left(\frac{3}{4} + \ln 2\right).
\]
提示：注意 $\ln 4 = 2\ln 2$，合并同类项。
步骤 7/8
目标：利用条件构造不等式
由已知条件 $\iint_D f(x,y)dxdy=0$ 和 $\iint_D xy f(x,y)dxdy=1$，得
\[
\iint_D \left(xy-\frac{1}{4}\right) f(x,y) dxdy = 1.
\]
因此
\[
\iint_D \left|xy-\frac{1}{4}\right| |f(x,y)| dxdy \ge \left|\iint_D \left(xy-\frac{1}{4}\right) f(x,y) dxdy\right| = 1.
\]
公式：绝对值不等式：$\left|\int g\right| \le \int |g|$
提示：注意绝对值不等式方向：$|\int g| \le \int |g|$，这里需要反向使用得到下界。
步骤 8/8
目标：应用积分中值定理
由于 $|f(x,y)|$ 连续，由积分中值定理，存在 $(x^*,y^*)\in D$ 使得
\[
\iint_D \left|xy-\frac{1}{4}\right| |f(x,y)| dxdy = |f(x^*,y^*)| \iint_D \left|xy-\frac{1}{4}\right| dxdy = A |f(x^*,y^*)|.
\]
结合上一步不等式得 $A|f(x^*,y^*)| \ge 1$，即 $|f(x^*,y^*)| \ge \frac{1}{A}$。
公式：积分中值定理：$\iint_D g(x,y)h(x,y)dxdy = h(\xi,\eta)\iint_D g(x,y)dxdy$
提示：注意中值定理要求 $g$ 不变号，此处 $\left|xy-\frac{1}{4}\right| \ge 0$ 满足条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。